Цели, основные принципы и основной порядок проведения работ по межгосударственной стандартизации установлены ГОСТ 1.0-92 "Межгосударственная система стандартизации. Основные положения" и ГОСТ 1.2-2009 "Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, правила и рекомендации по межгосударственной стандартизации. Порядок разработки, принятия, применения, обновления и отмены"

1 ПОДГОТОВЛЕН Открытым акционерным обществом "Институт стекла" на основе собственного аутентичного перевода на русский язык стандарта, указанного в пункте 5

2 ВНЕСЕН Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии

3 ПРИНЯТ Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол от 28 августа 2013 г. N 58-П)

За принятие проголосовали:

4 Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 08 ноября 2013 N 1508-ст межгосударственный стандарт ГОСТ 32298-2013 введен в действие в качестве национального стандарта Российской Федерации с 1 января 2015 г.

5 Настоящий стандарт модифицирован по отношению к европейскому стандарту EN 12603:2002 Glass in building - Procedures for goodness of fit and confidence intervals for Weibull distributed glass strength data (Стекло в строительстве. Порядок определения критерия согласия и доверительных интервалов по распределению Вейбулла для значений прочности стекла) путем изменения и дополнения отдельных фраз, слов, которые выделены полужирным курсивом, а также изменения разделов "Область применения" и "Нормативные ссылки".

Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования европейского стандарта в связи с особенностями построения межгосударственной системы стандартизации.

Европейский стандарт разработан Европейским комитетом по стандартизации (CEN) ТК 129 "Стекло в строительстве".

Европейский стандарт, на основе которого подготовлен настоящий стандарт, реализует существенные требования безопасности Директивы EC (89/106/EEC) по строительным материалам.

Перевод с английского языка (en).

Степень соответствия - модифицированная (MOD).

6 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

Настоящий стандарт устанавливает методику оценки данных выборки посредством двухпараметрической функции распределения Вейбулла.

Настоящий стандарт основывается на предположении, что статистическое распределение величины, принимаемое в рассмотрение, может быть представлено единственной функцией распределения Вейбулла, даже если в некоторых случаях (например, измерение срока службы) часто наблюдается смешанное распределение. По этой причине пользователю стандарта необходимо проверить тест на критерий согласия: могут ли данные измерений по выборке быть представлены с помощью единственной функции Вейбулла. Только в этом случае может быть принята гипотеза и применен метод, описанный в данном стандарте.

Пользователь принимает решение по этому вопросу, также рассматривая все предыдущие значимые данные и общий уровень знаний в конкретной области. Каждая экстраполяция в диапазонах квантилей, не согласованная с измеренными значениями, требует особой тщательности, настолько большей, насколько дальнейшая экстраполяция превышает диапазон измерений.

Примечание - Трехпараметрическую функцию Вейбулла определяют по формуле:

Если предположить x₀ = 0, получится двухпараметрическая функция Вейбулла:

которая может быть переписана в виде

Расчеты могут основываться на любой нецензурированной или цензурированной выборках. Существует несколько способов цензурирования. В настоящем стандарте рассматривается только следующий способ цензурирования:

- данное число r < n образцов, для которых были измерены значения величины x_i.

Примечание - При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов по указателю "Национальные стандарты", составленному по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный стандарт заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться заменяющим (измененным) стандартом. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.

В настоящем стандарте применяются термины и определения, установленные в [1].

X - рассматриваемая величина;

x, x_i, x_r - значения величины X;

G(x) - функция распределения X = процент неблагоприятного исхода;

x₀, , - параметры трехпараметрической функции Вейбулла;

- опознавательный знак, указывающий на оценку параметра (например, , , );

- уровень доверия;

l_i - значение, используемое в критерии согласия;

L - значение, используемое в критерии согласия;

n - объем выборки;

r - количество образцов, значения величин x_i которых были измерены;

Примечание - Выборка упорядочена, т.е. x₁ <= x₂ <= x₃ ... <= x_rr <= n;

f, f₁, f₂ - степень свободы;

k_n, k_r;n - множители, используемые в оценивании ;

c_r;n - множитель, используемый в оценивании ;

s - int(0,84n) = наибольшему целому числу < 0,84n;

, - ордината и абсцисса на диаграмме Вейбулла;

- функция распределения хи-квадрат;

y, v, - вспомогательные коэффициенты, используемые в оценивании границ доверительного интервала G(x);

A, B, C - константы, используемые при оценивании v;

H(f₂) - переменная, используемая при оценивании ;

, - коэффициенты, используемые при оценке доверительных интервалов значений .

Нижние индексы:

un - нижняя граница доверительного интервала;

ob - верхняя граница доверительного интервала;

z - доверительный интервал, ограниченный с двух сторон.

Отсортировать r значений величины x по возрастанию.

Вычислить для каждого значения от i = 1 до i = r - 1:

Вычислить значение величины:

где - символ, используемый для обозначения наибольшего целого числа, меньшего или равного r/2.

Отвергнуть гипотезу, что данные из распределения Вейбулла на значимости, если:

Значения квантиля F распределения можно найти, например, в [2].

Коэффициенты k_r;n и C_r;n приведены в таблицах 1 и 2.

Коэффициент k_n приведен в таблице 3.

График вероятностей для распределения Вейбулла составляется таким образом, чтобы функция распределения двухпараметрического распределения Вейбулла была представлена прямой линией.

Ось ординат градуирована в соответствии с функцией:

и ось абсцисс согласно функции:

Примечание - Такие формы доступны. Как правило, надо использовать диаграммы с интервалом G значений от G = 1 x 10^-3 = 0,1% до G = 0,999 = 99,9%. Необходимый диапазон x-значений зависит от величины параметра формы .

Точки оценок параметра формы и параметра масштаба задают прямую линию на диаграмме Вейбулла. Этот способ подходит, чтобы определить данную прямую по двум следующим точкам:

Эту прямую линию следует нанести на диаграмму.

Размер цензурированной или нецензурированной выборки дает r или n значений x_i величины X. Эти значения x_i следует упорядочить для формирования упорядоченной выборки.

Каждое значение x_i упорядоченной выборки следует сопоставить с оценкой:

Таким образом, точки, представляющие измеренные значения выборки, следует графически нанести на диаграмму Вейбулла.

В случае очень большого объема выборки диапазон измеренных x-значений может быть разделен на интервалы, как правило, содержащие одинаковое количество значений. Долю x-значений, просуммированную в каждом рассматриваемом интервале, следует нанести на верхнюю границу этого интервала.

Прямую линию, построенную согласно 7.2, и точки, которые представляют измеренные значения выборки, построенные согласно 7.3, можно сравнивать визуально.

Систематические отклонения могут быть подробно проанализированы с учетом фундаментальных технических и научных знаний и результатов ранее выполненных соответствующих исследований. Например, если распределение значений величины может быть аппроксимировано кусочно-прямыми линиями с различным наклоном, можно предположить смешанное распределение Вейбулла. Это можно принять как свидетельство того, что несколько основных механизмов определяют значения величины x_i. Такое подробное рассмотрение выходит за рамки настоящего стандарта.

Уравнения следующих подпунктов применимы в том случае, когда доверительные интервалы ограничены с двух сторон (индекс z). В том случае, когда доверительные интервалы ограничены только с одной стороны, должна быть заменена на в следующих уравнениях.

Уровень доверия выбирает пользователь настоящего стандарта.

8.1 Доверительный интервал для параметра формы 

Верхняя граница доверительного интервала для параметра формы при уровне доверия :

и нижняя граница:

f₁ следует получить с помощью умножения данных из таблицы 4, зная размер выборки n.

Величины и - квантиль распределения хи-квадрат с числом степеней свободы f₁. Значения приведены в таблице 5.

8.2 Доверительный интервал для значения функции распределения G(x) при заданном значении x величины X

Границы двустороннего доверительного интервала для G при уровне доверия для рассматриваемого значения x величины X следует вычислять с помощью трех вспомогательных факторов y, v и .

Уравнение для вспомогательного фактора y:

Уравнение для вспомогательного фактора v:

Константы A, B, C должны быть получены путем деления значений, полученных из таблицы 6, учитывая размер выборки n.

Уравнение для дополнительного фактора :

где f₂ и H(f₂) определяются из таблицы 7.

Примечание - и f₂ зависят от значения , объема выборки n и соотношения r/n. и f₂ являются независимыми от .

Тогда границы доверительного интервала для G:

верхняя граница:

нижняя граница:

8.3 Доверительный интервал для параметра масштаба 

Границы двусторонних доверительных интервалов для параметра масштаба при уровне доверия рассчитывается методом итераций:

Итерации могут быть начаты с .

После каждой итерации новые значения и рассчитываются по методу, описанному в 8.2.

Итерации должны быть прекращены, когда два последовательных значения как , так и равны с требуемой точностью. Например, для оценки результатов испытаний прочности разница меньше 0,1% дает достаточную точность.

В случае нецензурированной (полной) выборки могут быть использованы следующие простые уравнения:

с коэффициентами и , взятыми из таблицы 8.

8.4 Доверительный интервал для значения x величины X заданного значения G(x) функции распределения

Доверительный интервал для x заданной G(x) может быть вычислен путем решения трансцендентного уравнения:

Эти уравнения могут быть решены путем варьирования переменной x процедурой, описанной в 8.3.1, в качестве метода последовательных приближений.

Однако в большинстве случаев доверительные интервалы для x могут быть быстрее определены для заданного значения G(x) по диаграмме Вейбулла. Для этой цели границы доверительного интервала, определенные в соответствии с 8.2, например G_ob;z(x) и G_un;z(x), должны быть рассчитаны для ограниченного числа значений x и нанесены на диаграмму Вейбулла. В пределах графика на диаграмме Вейбулла доверительные интервалы для x, задаваемого G(x), могут быть определены напрямую.

Эта процедура становится неточной при малых значениях G(x), как в случаях, когда степень свободы f₂ распределения хи-квадрат принимает значения меньше 1. Предельные кривые доверительного интервала функции распределения G(x) должны быть линейно экстраполированы, графически или численно.

Графическая экстраполяция позволяет непосредственно определить границы доверительного интервала x из диаграммы Вейбулла.

Для численного определения доверительного интервала заданного значения по точкам следует выбирать значения , и для этого доверительный интервал функции распределения G(x₁) рассчитывается по 8.2 для получения доверительных интервалов и .

Выбранное значение должно соответствовать приблизительно нижней границе диапазона измеренных значений x.

Тогда границы доверительного интервала значения следует вычислять с использованием следующих уравнений:

Для G <= 0,632 могут быть использованы следующие простые уравнения:

Значения и должны быть рассчитаны в соответствии с 8.3.1 или 8.3.2.

Этот упрощенный метод расчета приводит к более осторожной оценке доверительного интервала x, по сравнению с более точным методом экстраполяции, как описано в 8.4.1.

В выборках, где n >= 20 и , и для значений G < 0,1 должны быть использованы следующие уравнения, дающие лучшее приближение к точному методу, описанному в 8.4.1:

Метод описан в 6.2.

Из таблицы 3, для n = 24, k_n = 1,4975:

s = int(0,84 x 24) = 20.

Отсюда и .

Для коэффициента доверия 95% доверительные интервалы: и .

а) Метод определения доверительного интервала для параметра формы приведен в 8.1.

Из таблицы 4, с помощью линейной интерполяции, f₁/n = 2,918, так что f₁ = 70,03.

Из таблицы 5, и .

Отсюда и .

б) Метод определения доверительных интервалов для G(x) приведен в 8.2, и результаты вычислений приведены в таблице A.2.

Рисунок 1 показывает значения G(x), G_ob;z, G_un;z из таблицы A.2, графически нанесенные на вейбулловскую (вероятностную) бумагу соответственно для каждого из таблицы A.2, вместе с результатами данных предела прочности из таблицы A.1.

c) Метод определения доверительных интервалов параметра масштаба приводится в 8.3.

Таблица A.3, полученная с использованием метода 8.3.1, показывает результаты последовательных итераций для определения и .

После трех итераций разница достаточно мала, что позволяет остановить итерационный процесс.

Отсюда и .

Тем не менее, так как это нецензурированная выборка, упрощенная процедура, описанная в п. 8.3.2, также может быть использована.

Из таблицы 8, T_24;0,025 = -0,4669 и T_24;0,975 = 0,4719.

Отсюда и .

д) С коэффициентом доверия 95% доверительные интервалы для x при G = 0,1% могут быть определены либо графически из рисунка A.1, или численно методом, описанным в 8.4.1.

Графическая экстраполяция на рисунке A.1 дает:

x_ob;z = 38,0 N/mm² x_un;z = 30,1 N/mm².

Для численного метода удобно полагать , что соответствует . По таблице A.2 уже были проведены расчеты и получено:

и .

Отсюда x_2;ob;z = 38,00 N/mm² и x_2;un;z = 29,03 N/mm².

Существует хорошее соответствие между графическим и численным методами.

Для нецензурированной выборки упрощенный метод, описанный в 8.4.2, может быть использован.

Поскольку n > 20, G < 0,1 и , полученные из A.1.2.1 значения могут быть использованы в уравнениях 8.4.2.

Отсюда x_ob;z = 37,51 N/mm² и x_un;z = 28,97 N/mm².

Это также дает хорошее соответствие между графическим и полным численным методами.

Та же выборка, что приведена в таблице A.1, используется для этого примера, но предполагается, что образцы не могут иметь напряжение разрушения больше 50 N/mm². Таким образом, данные принимают вид, показанный в таблице A.4.

Уровень цензурирования определяется значениями: n = 24, r = 15 и r/n = 0,625.

Метод описан в 6.1.

Для n = 24 и r/n = 0,625, из таблицы 1, k_r;n = 0,7271 и, из таблицы 2, C_r;n = -0,0937.

Отсюда и .

Для коэффициента доверия 95% доверительные интервалы: и .

а) Метод определения доверительного интервала для параметра формы приведен в B.1.

Из таблицы 4, с помощью линейной интерполяции, f₁/n = 1,411, так что f₁ = 33,86.

Из таблицы 5, и .

Отсюда, и .

б) Метод определения доверительного интервала для G(x) приведен в 8.2.

Из таблицы 6, B = 0,05951, C = 0,02062 и A = 0,0781.

Результаты вычислений приведены в таблице A.5.

На рисунке 2 приведены значения величин G(x), G_ob;z и G_un;z из таблицы A.5, нанесенные на бумагу Вейбулла соответственно каждому значению из таблицы A.5, вместе с результатами данных прочности из таблицы A.4.

c) Метод определения доверительных интервалов параметра масштаба приведен в 8.3.1.

В таблице A.6 приведены результаты последовательных итераций для определения и .

После пяти итераций, разница достаточно мала, что позволяет остановить итерационный процесс.

Отсюда и .

д) С коэффициентом доверия 95% доверительные интервалы для x при G = 0,1% могут быть определены либо графически на рисунке A.1, либо численно методом, описанным в 8.4.1.

Графическая экстраполяция на рисунке A.2 дает:

x_ob;z = 35,8 N/mm², , x_un;z = 25,3 N/mm².

Для численного метода удобно полагать , что соответствует . Из таблицы A.5, расчеты уже были произведены и получено:

, .

Отсюда x_2;ob;z = 36,73 N/mm² и x_2;un;z = 22,63 N/mm².

Существует хорошее соответствие между графическим и численным методами.

--------------------------------

<1> В Российской Федерации действует ГОСТ Р 50779.10-2000.