Главная // Актуальные документы // ГОСТ Р (Государственный стандарт)
СПРАВКА
Источник публикации
М.: ИПК Издательство стандартов, 2004
Примечание к документу
Документ введен в действие с 01.06.2004.
Взамен ГОСТ Р 50779.21-96.
Название документа
"ГОСТ Р 50779.21-2004. Национальный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение"
(утв. и введен в действие Постановлением Госстандарта России от 12.01.2004 N 3-ст)

"ГОСТ Р 50779.21-2004. Национальный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение"
(утв. и введен в действие Постановлением Госстандарта России от 12.01.2004 N 3-ст)

Содержание

ГОСТ Р 50779.21-2004. Национальный стандарт Российской Федерации. Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение
Предисловие
Введение
1. Область применения
2. Нормативные ссылки
3. Термины и определения
4. Обозначения
5. Общие требования
6. Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности
7. Точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности
8. Точечное и интервальное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале
Приложение А. Таблица значений функции стандартного нормального закона распределения
Приложение Б. Таблица значений квантилей распределения Стьюдента
Приложение В. Таблица значений квантилей хи_альфа2 распределения
Приложение Г. Таблицы значений квантилей распределения Фишера
Утвержден и введен в действие
Постановлением Госстандарта России
от 12 января 2004 г. N 3-ст
НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ
ЧАСТЬ 1
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Statistical methods. Determination rules and methods
for calculation of statistical characteristics based
on sample data. Part 1. Normal distribution
ГОСТ Р 50779.21-2004
Группа Т59
ОКС 03.120.30
Дата введения
1 июня 2004 года
Предисловие
1. Разработан Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 "Статистические методы в управлении качеством продукции".
2. Внесен Научно-техническим управлением Госстандарта России.
3. Утвержден и введен в действие Постановлением Госстандарта России от 12 января 2004 г. N 3-ст.
4. Настоящий стандарт разработан с учетом основных нормативных положений международного стандарта ИСО 2854:1976 "Статистическое представление данных. Методы оценки и проверки гипотез о средних значениях и дисперсиях" (ISO 2854:76 "Statistical interpretation of data - Techniques of estimation and tests relating to means and variance", NEQ).
5. Взамен ГОСТ Р 50779.21-96.
Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе "Национальные стандарты", а текст этих изменений - в информационных указателях "Национальные стандарты". В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая информация будет опубликована в информационном указателе "Национальные стандарты".
Введение
Стандарт устанавливает процедуры и методы решения ряда практических задач статистики в случае, когда наблюдаемые величины являются случайными и распределены по нормальному закону.
В стандарте изложены методы решения следующих задач:
а) точечного оценивания параметров нормального распределения случайной величины;
б) точечного оценивания вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал и вне его;
в) интервального (доверительного) оценивания параметров нормального распределения и доли распределения;
г) проверки гипотез об этих же величинах.
Все процедуры, приведенные в стандарте, используют ограниченный ряд статистически независимых наблюдений, полученных в производстве, в лабораторных условиях, при контроле, измерении, оценке и т.п.
1. Область применения
Настоящий стандарт устанавливает методы, применяемые для:
- оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности;
- проверки гипотез относительно значений этих параметров;
- оценки вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал.
Примечание. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна доле распределения случайной величины в этом интервале. В большинстве практических задач физический смысл имеет понятие "доля распределения случайной величины в интервале", которое далее применено в настоящем стандарте.
Методы, изложенные в настоящем стандарте, применимы в том случае, если выполнены следующие условия:
- элементы выборки получены путем независимых повторений эксперимента. В случае конечной генеральной совокупности объем выборки должен составлять не более 10% объема генеральной совокупности;
- наблюдаемые переменные распределены по нормальному закону. Однако если распределение вероятностей несильно отличается от нормального, то описанные в стандарте методы остаются применимыми для большинства практических приложений. В этом случае объем выборки должен быть не менее 10 единиц, причем достоверность получаемых статистических выводов возрастает при увеличении объемов выборок.
2. Нормативные ссылки
В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие стандарты:
ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534-1-93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения
ГОСТ Р 50779.11-2000 (ИСО 3534-2-93) Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения
Примечание. При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов по указателю "Национальные стандарты", составленному по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный документ заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться замененным (измененным) стандартом. Если ссылочный документ отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.
3. Термины и определения
В настоящем стандарте применены термины по ГОСТ Р 50779.10 и ГОСТ Р 50779.11, а также следующие термины с соответствующими определениями:
3.1. Точечное оценивание параметра: получение оценки параметра в виде одного численного значения;
3.2. Интервальное (доверительное) оценивание параметра: получение оценки параметра в виде доверительного интервала;
3.3. Доверительный интервал: интервал, границы которого являются функциями от выборочных данных и который накрывает истинное значение оцениваемого параметра с вероятностью не менее (где - доверительная вероятность).
Примечание. Доверительный интервал может быть двусторонним или односторонним;
3.4. Нулевая гипотеза: предположение о распределении генеральной совокупности, которое проверяют по статистическим данным.
Примечание. В частности, в настоящем стандарте рассмотрены предположения о значениях параметров распределения.
4. Обозначения
В настоящем стандарте применены следующие обозначения:
- математическое ожидание нормального закона
распределения (среднее значение генеральной
совокупности, далее - среднее значение);
- известное значение параметра ;
, - математические ожидания для двух различных
генеральных совокупностей;
- точечная оценка параметра ; ;
, - верхняя и нижняя доверительные границы параметра ;
- точечная оценка разности значений параметров  
и ;
- стандартное (среднеквадратичное) отклонение
нормально распределенной случайной величины;
D - дисперсия генеральной совокупности; ;
- известное значение дисперсии генеральной
совокупности, ;
- известное численное значение параметра ;
, - известные значения параметров и для двух
генеральных совокупностей;
- точечная оценка параметра , ;
, - верхняя и нижняя доверительные границы
параметра ;
D - точечная оценка дисперсии;
x - выборочное значение наблюдаемой случайной
величины;
- выборочное значение случайной величины из первой
генеральной совокупности;
- то же, из второй генеральной совокупности;
n, , - объемы выборок;
, , - среднеарифметические значения (выборочные
средние);
- выборочное стандартное (среднеквадратичное)
отклонение;
, - то же, для двух выборок соответственно;
- риск первого рода (вероятность отвергнуть
гипотезу, когда она верна);
- уровень значимости при проверке гипотез, а также
доверительная вероятность ;
v - число степеней свободы;
, - квантили стандартного нормального закона
распределения уровней и    
соответственно;
, - квантили распределения Стьюдента с v степенями
свободы уровней и соответственно;
- квантиль распределения Фишера с и степенями
свободы уровня ;
, , - квантили распределения с v степенями свободы
уровней , и соответственно;
L, M - нижняя и верхняя границы интервала
соответственно;
p - доля распределения (вероятность попадания)
случайной величины в заданный интервал [L, M];
q - доля распределения (вероятность попадания)
случайной величины вне интервала [L, M], причем
q + p = 1;
, - точечные оценки p и q;
, - нижние односторонние доверительные границы для
p и q;
, - верхние односторонние доверительные границы для
p и q;
C - случайное событие: например, попадание случайной
величины в заданный интервал;
- вероятность случайного события C;
- сумма выборочных значений.
5. Общие требования
5.1. Настоящий стандарт содержит описание типовых статистических задач, а также процедур, при помощи которых они решаются. Представленные задачи могут быть разбиты на три класса:
- точечное и интервальное оценивание среднего значения генеральной совокупности;
- точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности;
- точечное и интервальное оценивание доли распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданном интервале и вне его.
5.2. Для решения каждой из перечисленных задач по 5.1 приведены процедуры их решения (разделы 6, 7, 8), включающие в себя:
1) статистические и исходные данные;
2) определение стандартных табличных данных, которые необходимы для проведения вычислений (Приложения А, Б, В, Г), а также проведение вычислений параметров и коэффициентов по приведенным формулам;
3) результаты, полученные в итоге проведенных вычислений.
5.3. Для задач каждого класса приведены примеры их применения на практике (в производстве, медицине, химии). Спектр возможных применений этих задач не ограничивается приведенными в разделах 6, 7, 8 примерами.
5.4. Во всех приведенных задачах предполагается, что статистические и исходные данные подчиняются нормальному закону распределения. В тех случаях, когда изначально в этом нет достаточной уверенности, должны быть проведены предварительные исследования соответствия исходных данных нормальному закону.
5.5. Процедуры решения перечисленных в 5.1 задач представлены в таблицах, соответствующих этим задачам (разделы 6, 7, 8).
Номера таблиц разделов 6, 7, 8 для решения соответствующих задач перечислены в обобщенных таблицах 5.1, 5.2, 5.3, 5.4.
Таблица 5.1
Номера таблиц для решения задач
по оценке среднего значения (раздел 6)
Задача оценки среднего значения
Номер таблицы
D известна
D неизвестна
Оценка среднего
6.1
6.2
Сравнение среднего значения с заданным значением
6.3
6.4
Сравнение двух средних
6.5
6.6
Оценка разности двух средних
6.7
6.8
Таблица 5.2
Номера таблиц для решения задач
по оценке дисперсии (раздел 7)
Задача оценки дисперсии
Номер таблицы
Оценка дисперсии
7.1
Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданным значением
7.2
Сравнение двух дисперсий или двух стандартных отклонений
7.3
Таблица 5.3
Номера таблиц для решения задач по точечной оценке доли
распределения случайной величины в заданном интервале
(раздел 8)
Номер таблицы
D известна
D неизвестна
8.2
8.3
Таблица 5.4
Номера таблиц для решения задач по интервальной оценке доли
распределения случайной величины при неизвестной дисперсии
в заданном интервале (раздел 8)
Заданные границы интервала
Искомая величина
Номер таблицы
L
, 
8.4
M
, 
8.5
L, M
, 
8.6
L
, 
8.7
M
, 
8.8
L, M
, 
8.9
5.6. Процедуры интервального оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале, изложенные в разделе 8 настоящего стандарта, являются простыми для применения, но не самыми эффективными. Более эффективными являются процедуры с использованием таблиц нецентрального распределения Стьюдента или таблиц толерантных множителей, которые в настоящем стандарте не приведены.
6. Точечное и интервальное оценивание математического
ожидания генеральной совокупности
6.1. Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.
Таблица 6.1
Оценка среднего значения при известной дисперсии
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Известное значение дисперсии:
4. Выбранная доверительная вероятность:
1. Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :
2. Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :
3. Вычисляем:
4. Вычисляем:
5. Вычисляем:
Результаты
1. Точечная оценка параметра :
2. Двусторонний симметричный доверительный интервал для :
.
3. Односторонние доверительные интервалы для :
.
Примечание. Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 Приложения А.
Примеры
1. Определение настроенности станка-автомата при механической обработке (например, токарного, шлифовального). Точность станка, определяемая разбросом получаемых размеров деталей без изменения настройки, считается известной, а центр настройки требуется определить. Возможны оценки в виде точечного значения или в виде интервала, который с известной степенью доверия (доверительной вероятностью) включает неизвестное значение . Интервал может быть:
- двусторонним, если необходима уверенность с заданной доверительной вероятностью, в каких пределах может лежать ;
- односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что не выше какого-то значения;
- односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что не ниже какого-то значения.
2. Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.
3. Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т.е. известным параметром ), в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую или меньшую стороны от центра настройки . Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.
6.2. Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.
Таблица 6.2
Оценка среднего значения при неизвестной дисперсии
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
4. Степени свободы:
v = n - 1 =
5. Выбранная доверительная вероятность:
1. Квантиль распределения Стьюдента уровня с v степенями свободы:
2. Квантиль распределения Стьюдента уровня с v степенями свободы:
3. Вычисляем:
4. Вычисляем:
5. Вычисляем:
6. Вычисляем:
7. Вычисляем:
Результаты
1. Точечная оценка параметра :
2. Точечная оценка параметра D:
3. Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра :
.
4. Односторонние доверительные интервалы для параметра :
(1)
. (2)
Примечание. Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 Приложения Б.
Примеры - Примеры те же, что в 6.1, но точность, определяемая разбросом контролируемых значений, заранее неизвестна.
6.3. Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением при известной дисперсии приведен в таблице 6.3.
Таблица 6.3
Сравнение неизвестного среднего значения с заданным
значением при известной дисперсии
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Заданное значение:
1. Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :
2. Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :
3. Вычисляем:
4. Известное значение дисперсии генеральной совокупности:
или стандартного отклонения:
5. Выбранный уровень значимости:
Результаты
Сравнение выборочного среднего значения с заданным значением :
1. В двустороннем случае:
Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
2. В одностороннем случае:
а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
;
б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
Примечание. Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 Приложения А.
Пример - Проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение. Точность технологического процесса предполагается известной или заранее оцененной, т.е. значение известно.
Возможные технологические процессы: механическая обработка, расфасовка и другие, где равновозможны отклонения контролируемого параметра в большую и меньшую сторону от центра настройки.
6.4. Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.4.
Таблица 6.4
Сравнение неизвестного среднего значения с заданным
значением при неизвестной дисперсии
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
4. Заданное значение:
1. Квантиль распределения Стьюдента уровня с v степенями свободы:
2. Квантиль распределения Стьюдента уровня с v степенями свободы:
3. Вычисляем:
4. Вычисляем:
5. Степени свободы:
v = n - 1 =
6. Выбранный уровень значимости:
5. Вычисляем:
Результаты
Сравнение выборочного среднего значения с заданным значением :
1. В двустороннем случае:
Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
2. В одностороннем случае:
а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
;
б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
Примечание. Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 Приложения Б.
Примеры
1. То же, что в примере 6.3, но точность технологического процесса заранее неизвестна.
2. Контрольные проверки в розничной торговле и сфере обслуживания.
Например, у пяти человек, купивших по 1 кг сливочного масла, проводят повторное взвешивание товара на контрольных, более точных весах. При этом должен быть получен ответ на вопрос: являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.
То же - при отпуске бензина и масел на автозаправочных станциях, то же - при продаже тканей в магазинах и т.п.
6.5. Алгоритм решения задачи сравнения двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.5.
Таблица 6.5
Сравнение двух неизвестных средних значений
при известных дисперсиях
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
Первая выборка
Вторая выборка
1. Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :
2. Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :
3. Вычисляем:
; 
4. Вычисляем:
1. Объем выборки:
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Известные значения дисперсий генеральных совокупностей:
4. Выбранный уровень значимости:
Результаты
Сравнение средних значений двух совокупностей:
1. В двустороннем случае:
Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
2. В одностороннем случае:
а) предположение о том, что первое среднее не менее второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
;
б) предположение о том, что первое среднее не более второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
Примечание. Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 Приложения А.
Примеры
1. Технологический процесс механической обработки проводят параллельно на двух станках, точность каждого из них известна, т.е. известны параметры и . Можно ли считать, что оба станка настроены одинаково? Можно ли смешивать детали, произведенные на этих двух станках? Это бывает существенно, если дальнейшие технологические процессы подстраивают под среднее значение - параметр данного технологического процесса.
2. Требуется определить, одинаково ли среднее значение - параметр содержания кофеина в двух партиях таблеток аскофена, выпущенных разными фармацевтическими заводами. При этом заранее известны характеристики разброса этого содержания (т.е. дисперсии) для каждого из двух заводов.
6.6. Алгоритм решения задачи сравнения двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.6.
Таблица 6.6
Сравнение двух средних значений при неизвестных дисперсиях
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
Первая выборка
Вторая выборка
1. Квантиль распределения Стьюдента уровня с v степенями свободы:
2. Квантиль распределения Стьюдента уровня с v степенями свободы:
3. Вычисляем:
; 
4. Вычисляем:
1. Объем выборки:
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
4. Степени свободы:
5. Выбранный уровень значимости:
5. Вычисляем:
Результаты
Сравнение средних значений двух совокупностей:
1. В двустороннем случае:
а) предположение о том, что средние и совпадают (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
2. В одностороннем случае:
а) предположение о том, что (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
;
б) предположение о том, что (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
Примечание. Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 Приложения Б.
Примечание. Дисперсии неизвестны, но в предположении могут быть равными.
Примеры
1. Примеры те же, что для 6.5, но дисперсии неизвестны. Применение этих задач может встречаться чаще, чем применение задач по 6.5, т.к. в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.
2. Пример 2 по 6.5 может быть распространен на сравнение содержания различных химических веществ или примесей в двух совокупностях.
6.7. Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.7.
Таблица 6.7
Оценка разности двух средних значений
при известных дисперсиях
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
Первая выборка
Вторая выборка
1. Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :
2. Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :
3. Вычисляем:
; 
4. Вычисляем:
1. Объем выборки:
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Известные значения дисперсий генеральных совокупностей:
4. Выбранный уровень значимости: тогда доверительная вероятность равна 
Результаты
1. Точечная оценка равности между средними значениями параметров и для двух совокупностей:
.
2. Односторонний доверительный интервал для разности :
.
3. Двусторонний доверительный интервал для разности :
.
4. Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
Примечание. Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 Приложения А.
Пример - Сопоставление однотипных средних значений показателя качества для двух технологических процессов или двух совокупностей изделий. Считается, что дисперсии для обоих технологических процессов или совокупностей известны.
Например, оценка разности средней толщины гальванического покрытия двух партий одинаковых изделий; оценка разности среднего содержания вредных примесей в двух партиях химикатов и т.п.
6.8. Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.8.
Таблица 6.8
Оценка разности двух средних значений
при неизвестных, но равных <*> дисперсиях
--------------------------------
<*> Гипотезы равенства дисперсий двух генеральных совокупностей могут быть проверены по таблице 7.3 раздела 7.
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
Первая выборка
Вторая выборка
1. Квантиль распределения Стьюдента уровня с v степенями свободы:
2. Квантиль распределения Стьюдента уровня с v степенями свободы:
3. Вычисляем:
; 
1. Объем выборки:
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
4. Степени свободы:
5. Выбранная доверительная вероятность:
4. Вычисляем:
5. Вычисляем:
Результаты
1. Точечная оценка равности между средними значениями параметров и для двух совокупностей:
.
2. Двусторонний доверительный интервал для разности :
.
3. Односторонний доверительный интервал для разности :
.
Примечание. Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 Приложения Б.
Пример - Пример тот же, что в 6.7, но дисперсии неизвестны. Применение этих оценок может встречаться чаще, чем применение оценок по 6.7, т.к. в большинстве случаев в двух сравниваемых совокупностях дисперсии неизвестны.
7. Точечное и интервальное оценивание
дисперсии генеральной совокупности
7.1. Алгоритм точечного и интервального оценивания дисперсии или стандартного отклонения приведен в таблице 7.1.
Таблица 7.1
Точечная и интервальная оценки дисперсии
или стандартного отклонения
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
1. Квантили распределения с v степенями свободы уровней , , и соответственно:
ИС МЕГАНОРМ: примечание.
Нумерация пунктов дана в соответствии с официальным текстом документа.
4. Степени свободы:
v = n - 1 =
5. Выбранная доверительная вероятность:
3. Вычисляем:
4. Вычисляем:
Результаты
1. Точечные оценки дисперсии D и стандартного отклонения генеральной совокупности:
.
2. Двусторонний доверительный интервал <*> для дисперсии D:
.
3. Односторонний доверительный интервал <*> для дисперсии D:
(3)
. (4)
<*> Значения границ доверительного интервала стандартного отклонения являются корнем квадратным из значений границ доверительного интервала дисперсии D.
Примечание. Квантили распределения определяют по таблице В.1 Приложения В.
Примеры
1. Оценка точности (среднее значение величины разброса) показателей качества на выходе технологического процесса.
2. Оценка точности поддержания заданного значения параметра в системах автоматического регулирования (например, температура в печи).
Если необходимо знать просто среднее значение показателя точности, то определяется точечная оценка или , а если необходима уверенность в том, что точность не хуже (разброс не выше) определенного значения, то определяют интервальную оценку или с верхней доверительной границей.
7.2. Алгоритм решения задачи сравнения дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной приведен в таблице 7.2.
Таблица 7.2
Сравнение дисперсии или стандартного
отклонения с заданным значением
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
4. Заданное значение:
5. Степени свободы:
v = n - 1 =
6. Выбранная доверительная вероятность:
1. Квантили распределения с v степенями свободы уровней , , и соответственно:
2. Вычисляем:
3. Вычисляем:
Результаты
Сравнение дисперсии D с заданным значением или сравнение стандартного отклонения с заданным значением :
1. Двусторонний случай:
Предположение равенства дисперсии (стандартного отклонения) и заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
2. Односторонний случай:
а) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не более заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
;
б) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не менее заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
Примечание. Квантили распределения определяют по таблице В.1 Приложения В.
Примеры
1. Оценка точности одного оборудования или технологического процесса в сравнении с известной точностью (т.е. известным параметром ) другого оборудования или технологического процесса.
2. Сравнение степени однородности одной совокупности изделий (т.е. величины разброса показателя качества) с известной заранее степенью однородности, характеризуемой стандартным отклонением .
7.3. Алгоритм решения задачи сравнения дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей приведен в таблице 7.3.
Таблица 7.3
Сравнение дисперсий или стандартных отклонений
двух генеральных совокупностей
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
Первая выборка
Вторая выборка
1. Вычисляем:
2. Вычисляем:
3. Квантили распределения Фишера:
1 Объем выборки:
2 Сумма значений наблюдаемых величин:
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
4. Степени свободы:
; 
5. Выбранный уровень значимости:
Результаты
Сравнение дисперсий двух совокупностей:
1. Двусторонний случай:
Предположение равенства дисперсии или равенства двух стандартных отклонений (нулевая гипотеза) отвергается, если:
.
2. Односторонний случай:
а) предположение о том, что (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
;
б) предположение о том, что (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
.
Примечание. Квантили распределения Фишера определяют по таблицам Г.1 - Г.9 Приложения Г.
Примеры
1. Сравнение точности двух станков-автоматов по результатам контроля геометрических размеров деталей.
2. Соотношение стабильности двух технологий, например отечественного и зарубежного предприятий, на основе сравнения результатов контроля двух выборок из двух соответствующих совокупностей изделий.
8. Точечное и интервальное оценивание доли распределения
случайной величины в заданном интервале <*>
--------------------------------
<*> Доля распределения случайной величины в заданном интервале равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал. В большинстве практических задач физический смысл, используемый в данном стандарте, имеет понятие - "доля распределения случайной величины в интервале", хотя все приведенные статистические выводы справедливы и для понятия "вероятность попадания случайной величины в интервал".
8.1. Алгоритм вычисления доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его при известных параметрах нормального распределения приведен в таблице 8.1.
Таблица 8.1
Вычисление доли распределения случайной величины в заданном
интервале [L, M] и вне его при известных параметрах
нормального распределения (вспомогательный алгоритм)
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Среднее значение (математическое ожидание):
2. Стандартное отклонение:
или дисперсия: 
3. Границы интервала:
нижняя L =
верхняя M =
1. Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная нижняя граница интервала:
2. Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная верхняя граница интервала:
3. Доля распределения случайной величины, лежащая ниже границы L:
Если значение L не задано, то 
4. Доля распределения случайной величины, лежащая выше границы M:
Если значение M не задано, то 
Результаты
1. Доля распределения случайной величины вне интервала [L, M]:
.
2. Доля распределения случайной величины в интервале [L, M]:
p = 1 - q.
Примечание. Величины и представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 Приложения А.
Для решения данной задачи не используют выборочные данные, а значения параметров и считают известными. Таблица 8.1 содержит вспомогательный алгоритм для решения задач по 8.2 - 8.9.
Пример - Оценка ожидаемого уровня несоответствий показателя качества продукции (уровня несоответствий) при настройке станка на середину поля допуска или на номинальное значение и известную точность .
8.2. Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии приведен в таблице 8.2.
Таблица 8.2
Точечное оценивание доли распределения случайной величины
в заданном интервале [L, M] и вне его при известном
стандартном отклонении или дисперсии
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Стандартное отклонение:
или дисперсия 
3. Сумма значений наблюдаемых величин:
4. Границы интервала:
нижняя L =
верхняя M =
1. Точечная оценка среднего значения:
2. Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала:
нижняя 
верхняя 
3. Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы L (см. таблицу 8.1):
Если значение L не задано, то 
4. Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы M (см. таблицу 8.1):
Если значение M не задано, то 
Результаты
1. Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала [L, M]:
.
2. Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L, M]:
.
Примечание. Величины и представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 Приложения А.
Пример - Оценка уровня несоответствия показателя качества продукции, который следует ожидать при работе станка или технологического процесса при установленном допуске и неизвестном уровне настройки. При этом считают, что точность станка или технологического процесса известна или достаточно точно оценена заранее.
8.3. Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его при неизвестной дисперсии приведен в таблице 8.3.
Таблица 8.3
Точечная оценка доли распределения случайной
величины в заданном интервале [L, M]
и вне его при неизвестной дисперсии
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
4. Границы интервала:
нижняя L =
верхняя M=
1. Точечная оценка среднего значения:
2. Вычисляем:
3. Точечная оценка стандартного отклонения:
4. Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала:
нижняя 
верхняя 
5. Точечная оценка доли распределения случайной величины,лежащей ниже границы L (см. таблицу 8.1):
Если значение L не задано, то 
6. Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы M (см. таблицу 8.1):
Если значение M не задано, то 
Результаты
1. Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала [L, M]:
.
2. Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L, M]:
.
Примечание. Величины и представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 Приложения А.
Пример тот же, что в 8.2, но точность станка или технологического процесса неизвестна.
8.4. Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L приведен в таблице 8.4.
Указанным в таблице 8.4 способом определяют верхнюю доверительную границу для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также нижнюю доверительную границу для доли распределения случайной величины в указанном интервале.
Примечание. Здесь и далее следует различать заданный изначально односторонний или двусторонний интервал (допуск) с известной границей (границами) для случайной величины X и доверительный интервал для доли распределения случайной величины в этом допуске и вне его. Границы заданного интервала (допуска) L и M для случайной величины измеряют в тех же единицах величин, какие имеет случайная величина, например: в миллиметрах, граммах и т.п. Границы получаемого доверительного интервала являются безразмерными, как и сама вероятность.
Примеры
1. Определение уровня несоответствий для показателя "толщина гальванопокрытия". Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.
2. Оценка доли годных и несоответствующих деталей по показателю качества "твердость после термической обработки". Требование (допуск) одностороннее: L = 45 ед. Роквелла. Оценка получается в виде верхней доверительной границы на долю несоответствующей продукции с твердостью ниже 45 ед. Кроме того, получается нижняя доверительная граница на долю продукции, соответствующей требованию, т.е. на долю деталей с твердостью не ниже 45 ед. Доверительные оценки и в отличие от точечных имеют характеристики достоверности утверждений (с вероятностью ):
истинная доля годной продукции - не менее ;
истинная доля несоответствующей продукции - не более .
Таблица 8.4
Определение верхней и нижней доверительных границ
для доли распределения случайной величины в одностороннем
интервале и вне его с заданной нижней границей L
(дисперсия неизвестна)
Необходимые условия: , 
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
4. Степени свободы:
v = n - 1 =
5. Выбранная доверительная вероятность:
6. Нижняя граница одностороннего интервала:
L =
1. Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:
- для и
- для , причем
,
где j = 1, 2, 3, тогда
;
;
;
.
2. Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:
2.1. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
(см. формулу (2) таблицы 6.2).
2.2. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
(см. формулу (4) таблицы 7.1).
Примечание. Указанную процедуру повторяют три раза.
3. Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров и (см. таблицу 8.1):
4. После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:
, , 
Результаты
1. Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности :
.
2. Нижняя доверительная граница для p:
.
8.5. Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей M приведен в таблице 8.5.
Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей M, а также нижнюю доверительную границу для доли распределения случайной величины в указанном интервале.
Таблица 8.5
Определение верхней и нижней доверительных границ
для доли распределения случайной величины в одностороннем
интервале и вне его с заданной верхней границей M
(дисперсия неизвестна)
Необходимые условия: , 
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
4. Степени свободы:
v = n - 1 =
5. Выбранная доверительная вероятность:
6. Нижняя граница одностороннего интервала:
M =
1. Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:
- для ;
- для , причем
,
где j = 1, 2, 3, тогда:
;
;
;
.
2. Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:
2.1. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
(см. формулу (1) таблицы 6.2).
2.2. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
(см. формулу (4) таблицы 7.1).
Примечание. Данную процедуру повторяют три раза.
3. Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров и (см. таблицу 8.1):
4. После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:
, , 
Результаты
1. Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности :
.
2. Нижняя доверительная граница для p:
.
Пример - Определение уровня несоответствий для показателя "процент примесей" в металлургии или в фармакологии. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.
8.6. Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, M] и вне его приведен в таблице 8.6.
ИС МЕГАНОРМ: примечание.
В официальном тексте документа, видимо, допущена опечатка: имеется в виду таблица 8.6, а не таблица 8.5.
Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу для доли распределения вне интервала [L, M], а также нижнюю доверительную границу для доли распределения случайной величины в данном интервале.
Таблица 8.6
Определение верхней и нижней доверительных границ
для доли распределения случайной величины в заданном
интервале [L, M] и вне его (дисперсия неизвестна)
Необходимые условия: , 
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
4. Степени свободы:
v = n - 1 =
5. Выбранная доверительная вероятность:
6. Границы интервала:
L =
M =
1. Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:
- для и
- для , причем
,
где j = 1, 2, 3, тогда:
;
;
;
.
2. Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:
2.1. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
; 
(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2).
2.2. Наихудшая точка :
, если ;
, если .
2.3. Интервальная оценка параметра , соответствующая доверительной вероятности :
(см. формулу (4) таблицы 7.1).
Примечание. Данную процедуру повторяют три раза.
3. Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров и (см. таблицу 8.1):
4. После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:
, , 
Результаты
1. Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности :
.
2. Нижняя доверительная граница для p:
.
Пример - тот же, что в 8.2, но точность станка заранее неизвестна. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного значения.
8.7. Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L приведен в таблице 8.7.
Указанным в таблице 8.7 способом определяют нижнюю доверительную границу для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также верхнюю доверительную границу для доли распределения случайной величины в указанном интервале.
Таблица 8.7
Определение нижней и верхней доверительных границ
для доли распределения случайной величины в одностороннем
интервале и вне его с заданной нижней границей L
(дисперсия неизвестна)
Необходимые условия: , 
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
4. Степени свободы:
v = n - 1 =
5. Выбранная доверительная вероятность:
6. Нижняя граница одностороннего интервала:
L =
1. Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:
- для и
- для , причем
,
где j = 1, 2, 3, тогда:
;
;
;
.
2. Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:
2.1. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
(см. формулу (2) таблицы 6.2).
2.2. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
(см. формулу (3) таблицы 7.1).
Примечание. Данную процедуру повторяют три раза.
3. Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров и (см. таблицу 8.1):
4. После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:
, , 
Результаты
1. Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности :
.
2. Верхняя доверительная граница для p:
.
Пример - Доказательство (с заданной вероятностью) того, что уровень несоответствий по данному показателю качества превышает установленное в нормативной документации предельное значение. Случай предъявления рекламаций на серийную или массовую продукцию по определенному показателю качества.
8.8. Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей M приведен в таблице 8.8.
Указанным в таблице 8.8 способом определяют нижнюю доверительную границу для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей M, а также верхнюю доверительную границу для доли распределения случайной величины в указанном интервале.
Таблица 8.8
Определение нижней и верхней доверительных границ
для доли распределения случайной величины в одностороннем
интервале и вне его с заданной верхней границей M
(дисперсия неизвестна)
Необходимые условия: , 
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
4. Степени свободы:
v = n - 1 =
5. Выбранная доверительная вероятность:
6. Верхняя граница одностороннего интервала:
M =
1. Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:
- для и
- для , причем
,
где j = 1, 2, 3, тогда:
;
;
;
.
2. Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:
2.1. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
(см. формулу (2) таблицы 6.2).
2.2. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
(см. формулу (3) таблицы 7.1).
Примечание. Данную процедуру повторяют три раза.
3. Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров и (см. таблицу 8.1):
4. После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:
, , 
Результаты
1. Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности :
.
2. Верхняя доверительная граница для p:
.
8.9. Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, M] и вне его приведен в таблице 8.9.
Указанным в таблице 8.9 способом определяют нижнюю доверительную границу для доли распределения вне интервала [L, M], а также верхнюю доверительную границу для доли распределения случайной величины в заданном интервале.
Таблица 8.9
Определение нижней и верхней доверительных границ
для доли распределения случайной величины в заданном
интервале [L, M] и вне его (дисперсия неизвестна)
Необходимые условия: , 
Статистические и исходные данные
Табличные данные и вычисления
1. Объем выборки:
n =
2. Сумма значений наблюдаемых величин:
3. Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:
4. Степени свободы:
v = n - 1 =
5. Выбранная доверительная вероятность:
6. Границы интервала:
L =
M =
1. Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:
- для и
- для , причем
,
где j = 1, 2, 3, тогда:
;
;
;
.
2. Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:
2.1. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
; 
(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2).
2.2. Наихудшая точка :
, если ; (2.2.1)
, если ; (2.2.2)
, если формулы (2.2.1) и (2.2.2) не выполняются.
2.3. Интервальная оценка параметра с доверительной вероятностью :
(см. формулу (3) таблицы 7.1). Примечание. Данную процедуру повторяют три раза.
3. Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров и (см. таблицу 8.1):
4. После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:
, , 
Результаты
1. Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности :
.
2. Верхняя доверительная граница для p:
.
Приложение А
(справочное)
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ СТАНДАРТНОГО
НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
А.1. В таблице А.1 приведены значения функции стандартного нормального закона распределения Ф(u), рассчитываемой по формуле
, (А.1)
т.е. значения площади y под кривой, рассчитываемой по формуле:
, (А.2)
лежащей левее точки u.
А.2. В первой колонке таблицы А.1 приведены значения аргумента u от 0,00 до 0,49, обозначенные буквой z. Во второй колонке приведены значения функции Ф(u) для этих значений аргумента. В последующих колонках таблицы даны значения функции Ф(u) для значений аргумента u от 0,5 и выше. При этом значение аргумента и находят как сумму z и значений: 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0.
Пример - Для u = 1,86 = (1,5 + 0,36) находим Ф(1,86) = 0,96856.
А.3. Значения функции Ф(u) для отрицательных значений аргумента u рассчитывают по формуле:
Ф(-u) = 1 - Ф(u). (А.3)
А.4. Значение квантили уровня находят как значение аргумента u, соответствующего значению функции .
Пример - Значению соответствует ближайшее табличное значение Ф = 0,99010. По таблице А.1 для этого значения функции находят значение аргумента u:
u = 2,0 + 0,33 = 2,33.
Таблица А.1
Значения функции стандартного
нормального закона распределения
z
Ф(z)
Ф(0,5 + z)
Ф(1,0 + z)
Ф(1,5 + z)
Ф(2,0 + z)
Ф(2,5 + z)
Ф(3,0 + z)
0,00
0,50000
0,69146
0,84134
0,93319
0,97725
0,99379
0,99865
0,01
0,50399
0,69497
0,84375
0,93448
0,97778
0,99396
0,99869
0,02
0,50798
0,69847
0,84614
0,93574
0,97831
0,99413
0,99874
0,03
0,51197
0,70194
0,84850
0,93699
0,97882
0,99430
0,99878
0,04
0,51595
0,70540
0,85083
0,93822
0,97932
0,99446
0,99882
0,05
0,51994
0,70884
0,85314
0,93943
0,97982
0,99461
0,99886
0,06
0,52392
0,71226
0,85543
0,94062
0,98030
0,99477
0,99889
0,07
0,52790
0,71566
0,85769
0,94179
0,98077
0,99492
0,99893
0,08
0,53188
0,71904
0,85993
0,94295
0,98124
0,99506
0,99896
0,09
0,53586
0,72240
0,86214
0,94408
0,98169
0,99520
0,99900
0,10
0,53983
0,72575
0,86433
0,94520
0,98214
0,99534
0,99903
0,11
0,54380
0,72907
0,86650
0,94630
0,98257
0,99547
0,99906
0,12
0,54776
0,73237
0,86864
0,94738
0,98300
0,99560
0,99910
0,13
0,55172
0,73565
0,87076
0,94845
0,98341
0,99573
0,99913
0,14
0,55567
0,73891
0,87286
0,94950
0,98382
0,99585
0,99916
0,15
0,55962
0,74215
0,87493
0,95053
0,98422
0,99598
0,99918
0,16
0,56356
0,74537
0,87698
0,95154
0,98461
0,99609
0,99921
0,17
0,56750
0,74857
0,87900
0,95254
0,98500
0,99621
0,99924
0,18
0,57142
0,75175
0,88100
0,95352
0,98537
0,99632
0,99926
0,19
0,57535
0,75490
0,88298
0,95449
0,98574
0,99643
0,99929
0,20
0,57926
0,75804
0,88493
0,95543
0,98610
0,99653
0,99931
0,21
0,58317
0,76115
0,88686
0,95637
0,98645
0,99664
0,99934
0,22
0,58706
0,76424
0,88877
0,95728
0,98679
0,99674
0,99936
0,23
0,59095
0,76731
0,89065
0,95818
0,98713
0,99683
0,99938
0,24
0,59483
0,77035
0,89251
0,95907
0,98745
0,99693
0,99940
0,25
0,59871
0,77337
0,89435
0,95994
0,98778
0,99702
0,99942
0,26
0,60257
0,77637
0,89617
0,96080
0,98809
0,99711
0,99944
0,27
0,60642
0,77935
0,89796
0,96164
0,98840
0,99720
0,99946
0,28
0,61026
0,78230
0,89973
0,96246
0,98870
0,99728
0,99948
0,29
0,61409
0,78524
0,90147
0,96327
0,98899
0,99736
0,99950
0,30
0,61791
0,78814
0,90320
0,96407
0,98928
0,99744
0,99952
0,31
0,62172
0,79103
0,90490
0,96485
0,98956
0,99752
0,99953
0,32
0,62552
0,79389
0,90658
0,96562
0,98983
0,99760
0,99955
0,33
0,62930
0,79673
0,90824
0,96638
0,99010
0,99767
0,99957
0,34
0,63307
0,79955
0,90988
0,96712
0,99036
0,99774
0,99958
0,35
0,63683
0,80234
0,91149
0,96784
0,99061
0,99781
0,99960
0,36
0,64058
0,80511
0,91308
0,96856
0,99086
0,99788
0,99961
0,37
0,64431
0,80785
0,91466
0,96926
0,99111
0,99795
0,99962
0,38
0,64803
0,81057
0,91621
0,96995
0,99134
0,99801
0,99964
0,39
0,65173
0,81327
0,91774
0,97062
0,99158
0,99807
0,99965
0,40
0,65542
0,81594
0,91924
0,97128
0,99180
0,99813
0,99966
0,41
0,65910
0,81859
0,92073
0,97193
0,99202
0,99819
0,99968
0,42
0,66276
0,82121
0,92220
0,97257
0,99224
0,99825
0,99969
0,43
0,66640
0,82381
0,92364
0,97320
0,99245
0,99831
0,99970
0,44
0,67003
0,82639
0,92507
0,97381
0,99266
0,99836
0,99971
0,45
0,67364
0,82894
0,92647
0,97441
0,99286
0,99841
0,99972
0,46
0,67724
0,83147
0,92785
0,97500
0,99305
0,99846
0,99973
0,47
0,68082
0,83398
0,92922
0,97558
0,99324
0,99851
0,99974
0,48
0,68439
0,83646
0,93056
0,97615
0,99343
0,99856
0,99975
0,49
0,68793
0,83891
0,93189
0,97670
0,99361
0,99861
0,99976
Примечание. z - значение аргумента u от 0,00 до 0,49. Значение аргумента u от 0,50 и выше находят как сумму z и значений 0,5; 1,0; 1,5 и т.д. (см. обозначения граф таблицы).
Приложение Б
(справочное)
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ КВАНТИЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА
Б.1. В таблице Б.1 приведены значения квантилей распределения Стьюдента уровня с v степенями свободы.
Пример - Для v = 9 квантиль уровня имеет значение 2,821.
Б.2. Квантили уровня при любом v равны нулю.
Б.3. Квантили уровня находят по формуле
.
Б.4. Для промежуточных значений , лежащих между двумя соседними табличными значениями и :
,
значение квантиля может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):
.
Пример - Для v = 9 требуется найти квантиль уровня . Полагаем, что , ; находим по таблице Б.1 , и вычисляем для степеней свободы v = 9.
.
Таблица Б.1
Значения квантилей распределения Стьюдента 
v
Значения квантилей распределения Стьюдента с v степенями свободы для уровня 
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
0,975
0,99
0,995
0,9995
1
0,158
0,325
0,510
0,727
1,000
1,376
1,963
3,078
6,314
12,706
31,821
63,657
636,619
2
0,142
0,289
0,445
0,617
0,816
1,061
1,386
1,886
2,920
4,303
6,965
9,925
31,598
3
0,137
0,277
0,424
0,584
0,765
0,978
1,250
1,638
2,353
3,182
4,541
5,841
12,924
4
0,134
0,271
0,414
0,569
0,741
0,941
1,190
1,533
2,132
2,776
3,747
4,604
8,610
5
0,132
0,267
0,408
0,559
0,727
0,920
1,156
1,476
2,015
2,571
3,365
4,032
6,869
6
0,131
0,265
0,404
0,543
0,718
0,906
1,134
1,440
1,943
2,447
3,143
3,707
5,959
7
0,130
0,263
0,402
0,549
0,711
0,896
1,119
1,415
1,895
2,365
2,998
3,499
5,408
8
0,130
0,262
0,399
0,546
0,706
0,889
1,108
1,397
1,860
2,306
2,896
3,355
5,041
9
0,129
0,261
0,398
0,543
0,703
0,883
1,100
1,383
1,833
2,262
2,821
3,250
4,781
10
0,129
0,260
0,397
0,542
0,700
0,879
1,093
1,372
1,812
2,228
2,764
3,169
4,587
11
0,129
0,260
0,396
0,540
0,697
0,876
1,088
1,363
1,796
2,201
2,718
3,106
4,437
12
0,128
0,259
0,395
0,539
0,695
0,873
1,083
1,356
1,782
2,179
2,681
3,055
4,318
13
0,128
0,259
0,394
0,538
0,694
0,870
1,079
1,350
1,771
2,160
2,650
3,012
4,221
14
0,128
0,258
0,393
0,537
0,692
0,868
1,076
1,345
1,761
2,145
2,624
2,977
4,140
15
0,128
0,258
0,393
0,536
0,691
0,866
1,074
1,341
1,753
2,131
2,602
2,947
4,173
16
0,128
0,258
0,392
0,535
0,690
0,865
1,071
1,337
1,746
2,120
2,583
2,921
4,015
17
0,128
0,257
0,392
0,534
0,689
0,863
1,069
1,333
1,740
2,110
2,567
2,898
3,965
18
0,128
0,257
0,392
0,534
0,688
0,862
1,067
1,330
1,734
2,101
2,552
2,878
3,922
19
0,127
0,257
0,391
0,533
0,688
0,861
1,066
1,328
1,729
2,093
2,539
2,861
3,883
20
0,127
0,257
0,391
0,533
0,687
0,860
1,064
1,325
1,725
2,086
2,528
2,845
3,850
21
0,127
0,257
0,391
0,532
0,686
0,859
1,063
1,323
1,721
2,080
2,518
2,831
3,819
22
0,127
0,256
0,390
0,532
0,686
0,858
1,061
1,321
1,717
2,074
2,508
2,819
3,792
23
0,127
0,256
0,390
0,532
0,685
0,858
1,060
1,319
1,714
2,069
2,500
2,807
3,767
24
0,127
0,256
0,390
0,531
0,685
0,857
1,059
1,318
1,711
2,064
2,492
2,797
3,745
25
0,127
0,256
0,390
0,531
0,684
0,856
1,058
1,316
1,708
2,060
2,485
2,787
3,725
26
0,127
0,256
0,390
0,531
0,684
0,856
1,058
1,315
1,706
2,056
2,479
2,779
3,707
27
0,127
0,256
0,389
0,531
0,684
0,855
1,057
1,314
1,703
2,052
2,473
2,771
3,690
28
0,127
0,256
0,389
0,530
0,683
0,855
1,056
1,313
1,701
2,048
2,467
2,763
3,674
29
0,127
0,256
0,389
0,530
0,683
0,854
1,055
1,311
1,699
2,045
2,462
2,756
3,659
30
0,127
0,256
0,389
0,530
0,683
0,854
1,055
1,310
1,697
2,042
2,457
2,750
3,646
40
0,126
0,255
0,388
0,529
0,681
0,851
0,050
1,303
1,684
2,021
2,423
2,704
3,551
60
0,126
0,254
0,387
0,527
0,679
0,848
0,046
1,296
1,671
2,000
2,390
2,660
3,460
120
0,126
0,254
0,386
0,526
0,677
0,845
0,041
1,289
1,658
1,980
2,358
2,617
3,373
0,126
0,253
0,385
0,524
0,674
0,842
0,036
1,282
1,645
1,960
2,326
2,576
3,291
Приложение В
(справочное)
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ КВАНТИЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В.1. В таблице В.1 приведены значения квантилей , т.е. квантилей распределения уровня с v степенями свободы.
Пример - Для v = 9 и квантиль .
В.2. Для промежуточных значений , лежащих между двумя соседними табличными значениями и :
,
значение квантиля может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):
.
Пример - Для v = 14 требуется найти квантиль уровня . Полагаем , ; находим по таблице В.1 ; и вычисляем для степеней свободы v = 14.
.
Таблица В.1
Значения квантилей распределения
v
Значения квантилей распределения с v степенями свободы для уровня 
0,01
0,02
0,05
0,1
0,2
0,3
0,5
0,7
0,8
0,9
0,95
0,98
0,99
1
0,0157
0,0628
0,0393
0,0158
0,0642
0,148
0,455
1,074
1,642
2,706
3,841
5,412
6,635
2
0,0201
0,0404
0,103
0,211
0,446
0,713
1,386
2,408
3,219
4,605
5,991
7,824
9,210
3
0,115
0,185
0,352
0,584
1,005
1,424
2,366
3,665
4,642
6,251
7,815
9,837
11,345
4
0,297
0,429
0,711
1,064
1,649
2,195
3,357
4,878
5,989
7,779
9,488
11,668
13,277
5
0,554
0,752
1,145
1,160
2,343
3,000
4,351
6,064
7,289
9,233
11,070
13,388
15,086
6
0,872
1,134
1,635
2,204
3,070
3,828
5,348
7,231
8,558
10,645
12,592
15,033
16,812
7
1,239
1,564
2,167
2,833
3,822
4,671
6,346
8,383
9,803
12,017
14,067
16,622
18,475
8
1,646
2,032
2,733
3,490
4,594
5,527
7,344
9,524
11,030
13,362
15,507
18,168
20,090
9
2,088
2,532
3,325
4,168
5,380
6,393
8,343
10,656
12,242
14,684
16,919
19,679
21,666
10
2,358
3,059
3,940
4,865
6,179
7,267
9,342
11,781
13,442
15,987
18,307
21,161
23,209
11
3,053
3,609
4,575
5,578
6,989
8,148
10,341
12,899
14,631
17,275
19,675
22,618
24,725
12
3,571
4,178
5,226
6,304
7,807
9,034
11,340
14,011
15,821
18,549
21,026
24,054
26,217
13
4,107
4,765
5,892
7,042
8,634
9,926
12,340
15,119
16,985
19,812
22,362
25,472
27,688
14
5,660
5,368
6,571
7,790
9,467
10,821
13,339
16,222
18,151
21,064
23,996
26,873
29,141
15
5,229
5,985
7,261
8,547
10,307
11,721
14,339
17,322
19,311
22,307
24,996
28,259
30,578
16
5,812
6,614
7,962
9,312
11,152
12,624
15,333
18,418
20,465
23,542
26,296
29,633
32,000
17
6,408
7,255
8,672
10,035
12,002
13,531
16,338
19,511
21,615
24,769
27,587
30,995
33,409
18
7,015
7,906
9,390
10,865
12,857
14,440
17,338
20,601
22,760
25,989
28,869
32,346
34,805
19
7,633
8,567
10,117
11,651
13,716
15,352
18,338
21,689
23,900
27,204
30,144
33,687
36,191
20
8,260
9,237
10,851
12,443
14,578
16,266
19,337
22,775
25,038
28,412
31,410
35,020
37,566
21
8,897
9,915
11,591
13,240
15,445
17,182
20,337
23,858
26,171
29,615
32,671
36,343
38,932
22
9,542
10,600
12,338
14,041
16,314
18,101
21,337
24,939
27,301
30,813
33,924
37,659
40,289
23
10,196
11,293
13,091
14,848
17,187
19,021
22,337
26,018
28,429
32,007
35,172
38,968
41,638
24
10,856
11,992
13,848
15,659
18,062
19,943
23,337
27,096
29,553
33,196
36,415
40,270
42,980
25
11,524
12,697
14,611
16,473
18,940
20,867
24,337
28,172
30,675
34,382
37,652
41,566
44,314
26
12,198
13,409
15,379
17,292
19,820
21,792
25,336
29,246
31,795
35,563
38,885
42,856
45,642
27
12,879
14,125
16,151
18,114
20,703
22,719
26,336
30,319
32,912
36,741
40,113
44,140
46,963
28
13,565
14,847
16,928
18,939
21,588
23,647
27,336
31,391
34,027
37,916
41,337
45,419
48,278
29
14,256
15,574
17,708
19,768
22,475
24,577
28,336
32,461
35,139
39,087
42,557
46,693
49,588
30
14,953
16,306
18,493
20,599
23,364
25,508
29,336
33,530
36,250
40,256
43,773
47,962
50,892
Приложение Г
(справочное)
ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ КВАНТИЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФИШЕРА
Г.1. В таблицах Г.1 - Г.9 содержатся значения квантилей при заданных уровнях для различных сочетаний степеней свободы и . Каждая таблица соответствует одному уровню , значение которого указано в заголовке таблицы, и различным значениям и .
Г.1.1. Для определения квантилей уровня менее 0,5 следует использовать соотношение:
.
Г.1.2. Для промежуточных значений , лежащих между двумя соседними табличными значениями и :
,
значение квантиля может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):
.
Г.1.3. Для промежуточных значений и , лежащих между двумя соседними табличными значениями и или и , т.е.
,
значения квантилей , могут быть приближенно вычислены по формулам:
;
.
Таблица Г.1
Значения квантилей F-распределения уровня 
Значения квантилей F-распределения уровня для степеней свободы 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120
1
1,0000
1,5000
1,7092
1,8227
1,8937
1,9422
1,9774
2,0041
2,0250
2,0419
2,0674
2,0931
2,1190
2,1321
2,1452
2,1584
2,1716
2,1848
2,1981
2
0,66667
1,0000
1,1349
1,2071
1,2519
1,2824
1,3045
1,3213
1,3344
1,3450
1,3610
1,3771
1,3933
1,4014
1,4096
1,4178
1,4261
1,4344
1,4427
3
0,58506
0,88110
1,0000
1,0632
1,1024
1,1289
1,1482
1,1627
1,1741
1,1833
1,1972
1,2111
1,2252
1,2322
1,2393
1,2464
1,2536
1,2608
1,2680
4
0,54863
0,82843
0,94054
1,0000
1,0357
1,0617
1,0797
1,0933
1,1040
1,1126
1,1255
1,1386
1,1517
1,1583
1,1649
1,1716
1,1782
1,1849
1,1916
5
0,52807
0,79877
0,90715
0,96456
1,0000
1,0240
1,0414
1,0545
1,0648
1,0730
1,0855
1,0980
1,1106
1,1170
1,1234
1,1297
1,1361
1,1426
1,1490
6
0,51489
0,77976
0,88578
0,94191
0,97654
1,0000
1,0169
1,0298
1,0398
1,0478
1,0600
1,0722
1,0845
1,0907
1,0969
1,1031
1,1093
1,1156
1,1219
7
0,50572
0,76655
0,87095
0,92619
0,96026
0,98334
1,0000
1,0126
1,0224
1,0304
1,0423
1,0543
1,0664
1,0724
1,0785
1,0846
1,0908
1,0969
1,1031
8
0,49898
0,75683
0,86004
0,91464
0,93831
0,97111
0,98757
1,0000
1,0097
1,0175
1,0293
1,0412
1,0531
1,0591
1,0651
1,0711
1,0771
1,0832
1,0893
9
0,49382
0,74938
0,85168
0,90580
0,93916
0,96175
0,97805
0,99037
1,0000
1,0077
1,0194
1,0311
1,0429
1,0489
1,0548
1,0608
1,0667
1,0727
1,0788
10
0,48973
0,74349
0,84508
0,89882
0,93193
0,95436
0,97054
0,98276
0,99232
1,0000
1,0116
1,0232
1,0349
1,0408
1,0467
1,0526
1,0585
1,0645
1,0705
11
0,48644
0,73872
0,83973
0,89316
0,92608
0,94837
0,96445
0,97661
0,98610
0,99373
1,0052
1,0168
1,0284
1,0343
1,0401
1,0460
1,0519
1,0578
1,0637
12
0,48369
0,73477
0,83530
0,88848
0,92124
0,94342
0,95943
0,97152
0,98097
0,98856
1,0000
1,0115
1,0231
1,0289
1,0347
1,0405
1,0464
1,0523
1,0582
13
0,48141
0,73145
0,83159
0,88454
0,91718
0,93926
0,95520
0,96724
0,97665
0,98421
0,99560
1,0071
1,0186
1,0243
1,0301
1,0360
1,0418
1,0476
1,0535
14
0,47944
0,72862
0,82842
0,88119
0,91371
0,93573
0,95161
0,96360
0,97298
0,98051
0,99186
1,0033
1,0147
1,0205
1,0263
1,0321
1,0379
1,0437
1,0495
15
0,47775
0,72619
0,82569
0,87830
0,91073
0,93627
0,94850
0,96046
0,96981
0,97732
0,98863
1,0000
1,0114
1,0172
1,0229
1,0287
1,0345
1,0403
1,0461
16
0,47628
0,72406
0,82330
0,87578
0,90812
0,93001
0,94580
0,95773
0,96705
0,97454
0,98582
0,99716
1,0086
1,0143
1,0200
1,0258
1,0315
1,0373
1,0431
17
0,47499
0,72219
0,82121
0,87357
0,90584
0,92767
0,94342
0,95532
0,96462
0,97203
0,98334
0,99466
1,0060
1,0117
1,0174
1,0232
1,0289
1,0347
1,0405
18
0,47335
0,72053
0,81936
0,87161
0,90381
0,92560
0,94132
0,95319
0,96247
0,96993
0,98116
0,99245
1,0038
1,0095
1,0152
1,0209
1,0267
1,0324
1,0382
19
0,47284
0,71906
0,81771
0,86987
0,90200
0,92375
0,93944
0,95129
0,96056
0,96800
0,97920
0,99047
1,0018
1,0075
1,0132
1,0189
1,0246
1,0304
1,0361
20
0,47192
0,71773
0,81621
0,86830
0,90038
0,92210
0,93776
0,94959
0,95884
0,96626
0,97746
0,98870
1,0000
1,0057
1,0114
1,0171
1,0228
1,0285
1,0343
21
0,47108
0,71653
0,81487
0,86688
0,89891
0,92060
0,93624
0,94805
0,95728
0,96470
0,97587
0,98710
0,99838
1,0040
1,0097
1,0154
1,0211
1,0268
1,0326
22
0,47033
0,71545
0,81365
0,86559
0,89759
0,91924
0,93486
0,94665
0,95588
0,96328
0,97444
0,98565
0,99692
1,0026
1,0082
1,0139
1,0196
1,0253
1,0311
23
0,46965
0,71446
0,81255
0,86442
0,89638
0,91800
0,93360
0,94538
0,95459
0,96199
0,97313
0,98433
0,99558
1,0012
1,0069
1,0126
1,0183
1,0240
1,0297
24
0,46902
0,71356
0,81153
0,86335
0,89527
0,91687
0,93245
0,94422
0,95342
0,96081
0,97194
0,98312
0,99436
1,0000
1,0057
1,0113
1,0170
1,0227
1,0284
25
0,46844
0,71272
0,81061
0,86236
0,89425
0,91583
0,93140
0,94315
0,95234
0,95972
0,97084
0,98201
0,99324
0,99887
1,0045
1,0102
1,0159
1,0215
1,0273
26
0,46793
0,71195
0,80975
0,86145
0,89331
0,91487
0,93042
0,94217
0,95135
0,95872
0,96983
0,98099
0,99220
0,99783
1,0035
1,0091
1,0148
1,0205
1,0262
27
0,46744
0,71124
0,80894
0,86061
0,89244
0,91399
0,92952
0,94126
0,95044
0,95779
0,96889
0,98004
0,99125
0,99687
1,0025
1,0082
1,0138
1,0195
1,0252
28
0,46697
0,71059
0,80820
0,85983
0,89164
0,91317
0,92869
0,94041
0,94958
0,95694
0,96802
0,97917
0,99036
0,99598
1,0016
1,0073
1,0129
1,0186
1,0243
29
0,46654
0,70999
0,80753
0,85911
0,89089
0,91241
0,92791
0,93963
0,94879
0,95614
0,96722
0,97835
0,98954
0,99515
1,0008
1,0064
1,0121
1,0177
1,0234
30
0,46616
0,70941
0,80689
0,85844
0,89019
0,91169
0,92719
0,93889
0,94805
0,95540
0,96647
0,97759
0,98877
0,99438
1,0000
1,0056
1,0113
1,0170
1,0226
40
0,46330
0,70531
0,80228
0,85357
0,88516
0,90654
0,92197
0,93361
0,94272
0,95003
0,96104
0,97211
0,98323
0,98880
0,99440
1,0000
1,0056
1,0113
1,0169
60
0,46053
0,70122
0,79770
0,84873
0,88017
0,90144
0,91679
0,92838
0,93743
0,94471
0,95566
0,96667
0,97773
0,98328
0,98884
0,99411
1,0000
1,0056
1,0112
120
0,45774
0,69717
0,79314
0,84392
0,87521
0,89637
0,91164
0,92318
0,93218
0,93943
0,95032
0,96128
0,97228
0,97780
0,98333
0,98887
0,99443
1,0000
1,0056
0,45494
0,69315
0,78866
0,83918
0,87029
0,89135
0,90654
0,91802
0,92698
0,93418
0,94503
0,95593
0,96687
0,97236
0,97787
0,98339
0,98891
0,99445
1,0000
Таблица Г.2
Значения квантилей F-распределения уровня 
Значения квантилей F-распределения уровня для степеней свободы 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120
1
5,8285
7,5000
8,1999
8,5810
8,8198
8,9833
9,1021
9,1922
9,2631
9,3202
9,4064
9,4934
9,5813
9,6255
9,6698
9,7144
9,7591
9,8041
9,8492
2
2,5714
3,0000
3,1534
3,2320
3,2799
3,3121
3,3352
3,3526
3,3661
3,3770
3,3934
3,4098
3,4263
3,4345
3,4428
3,4511
3,4594
3,4677
3,4761
3
2,0239
2,2798
2,3555
2,3901
2,4095
2,4218
2,4302
2,4364
2,4410
2,4447
2,4500
2,4552
2,4602
2,4626
2,4650
2,4674
2,4697
2,4720
2,4742
4
1,8074
2,0000
2,0467
2,0642
2,0723
2,0766
2,0790
2,0805
2,0814
2,0820
2,0826
2,0829
2,0828
2,0827
2,0825
2,0821
2,0817
2,0812
2,0806
5
1,6925
1,8528
1,8843
1,8927
1,8947
1,8945
1,8935
1,8923
1,8911
1,8899
1,8877
1,8851
1,8820
1,8802
1,8784
1,8763
1,8742
1,8719
1,8694
6
1,6214
1,7622
1,7844
1,7872
1,7852
1,7821
1,7789
1,7760
1,7733
1,7708
1,7668
1,7621
1,7569
1,7540
1,7510
1,7477
1,7443
1,7407
1,7368
7
1,5732
1,7010
1,7169
1,7157
1,7111
1,7059
1,7011
1,6969
1,6931
1,6898
1,6843
1,6781
1,6712
1,6675
1,6635
1,6593
1,6548
1,6502
1,6452
8
1,5384
1,6569
1,6683
1,6642
1,6575
1,6508
1,6448
1,6396
1,6350
1,6310
1,6244
1,6170
1,6088
1,6043
1,5996
1,5945
1,5892
1,5836
1,5777
9
1,5121
1,6236
1,6315
1,6253
1,6170
1,6091
1,6022
1,5961
1,5909
1,5863
1,5788
1,5705
1,5611
1,5560
1,5506
1,5450
1,5389
1,5325
1,5257
10
1,4915
1,5975
1,6028
1,5949
1,5863
1,5765
1,5688
1,5621
1,5563
1,5513
1,5430
1,5338
1,5235
1,5179
1,5119
1,5056
1,4990
1,4919
1,4843
11
1,4749
1,5767
1,5798
1,5794
1,5598
1,5502
1,5418
1,5346
1,5284
1,5230
1,5140
1,5041
1,4930
1,4869
1,4805
1,4737
1,4664
1,4587
1,4504
12
1,4613
1,5595
1,5609
1,5503
1,5389
1,5286
1,5197
1,5120
1,5054
1,4996
1,4902
1,4796
1,4678
1,4613
1,4544
1,4471
1,4393
1,4310
1,4221
13
1,4500
1,5452
1,5451
1,5336
1,5214
1,5105
1,5011
1,4931
1,4861
1,4801
1,4701
1,4590
1,4465
1,4397
1,4324
1,4247
1,4164
1,4075
1,3980
14
1,4403
1,5331
1,5317
1,5194
1,5066
1,4952
1,4854
1,4770
1,4697
1,4634
1,4530
1,4414
1,4284
1,4212
1,4136
1,4055
1,3967
1,3874
1,3772
15
1,4321
1,5227
1,5202
1,5071
1,4938
1,4820
1,4718
1,4631
1,4556
1,4491
1,4383
1,4263
1,4127
1,4052
1,3973
1,3888
1,3796
1,3698
1,3591
16
1,4249
1,5137
1,5103
1,4965
1,4827
1,4705
1,4601
1,4511
1,4433
1,4366
1,4255
1,4130
1,3990
1,3913
1,3830
1,3742
1,3646
1,3543
1,3432
17
1,4186
1,5057
1,5015
1,4873
1,4730
1,4605
1,4497
1,4405
1,4325
1,4256
1,4142
1,4014
1,3869
1,3790
1,3704
1,3613
1,3514
1,3406
1,3290
18
1,4130
1,4988
1,4938
1,4790
1,4644
1,4516
1,4406
1,4312
1,4230
1,4159
1,4042
1,3911
1,3762
1,3680
1,3592
1,3497
1,3395
1,3284
1,3162
19
1,4081
1,4925
1,4870
1,4717
1,4568
1,4437
1,4325
1,4228
1,4145
1,4073
1,3953
1,3819
1,3666
1,3582
1,3492
1,3394
1,3289
1,3174
1,3048
20
1,4037
1,4870
1,4808
1,4652
1,4500
1,4366
1,4252
1,4153
1,4069
1,3995
1,3873
1,3763
1,3580
1,3494
1,3401
1,3301
1,3193
1,3074
1,2943
21
1,3997
1,4820
1,4573
1,4593
1,4438
1,4302
1,4186
1,4086
1,4000
1,3925
1,3801
1,3661
1,3502
1,3414
1,3319
1,3217
1,3105
1,2983
1,2848
22
1,3961
1,4774
1,4703
1,4540
1,4382
1,4244
1,4126
1,4025
1,3937
1,3861
1,3735
1,3593
1,3431
1,3341
1,3245
1,3140
1,3025
1,2900
1,2761
23
1,3928
1,4733
1,4657
1,4491
1,4331
1,4191
1,4072
1,3969
1,3880
1,3803
1,3675
1,3531
1,3366
1,3275
1,3176
1,3069
1,2952
1,2824
1,2681
24
1,3898
1,4695
1,4615
1,4447
1,4285
1,4143
1,4022
1,3918
1,3828
1,3750
1,3621
1,3474
1,3307
1,3214
1,3113
1,3004
1,2885
1,2754
1,2607
25
1,3870
1,4661
1,4577
1,4406
1,4242
1,4099
1,3976
1,3871
1,3780
1,3701
1,3570
1,3422
1,3252
1,3158
1,3056
1,2945
1,2823
1,2689
1,2538
26
1,3845
1,4629
1,4542
1,4368
1,4203
1,4058
1,3935
1,3828
1,3737
1,3656
1,3524
1,3374
1,3202
1,3106
1,3002
1,2889
1,2765
1,2628
1,2474
27
1,3822
1,4600
1,4510
1,4334
1,4166
1,4021
1,3896
1,3788
1,3696
1,3615
1,3481
1,3329
1,3155
1,3058
1,2953
1,2838
1,2712
1,2572
1,2414
28
1,3800
1,4573
1,4480
1,4302
1,4133
1,3986
1,3860
1,3752
1,3658
1,3576
1,3441
1,3288
1,3112
1,3013
1,2906
1,2790
1,2662
1,2519
1,2358
29
1,3780
1,4547
1,4452
1,4272
1,4102
1,3953
1,3826
1,3717
1,3623
1,3541
1,3404
1,3249
1,3071
1,2971
1,2863
1,2745
1,2615
1,2470
1,2306
30
1,3761
1,4524
1,4426
1,4244
1,4073
1,3923
1,3795
1,3685
1,3590
1,3507
1,3369
1,3213
1,3033
1,2933
1,2823
1,2703
1,2571
1,2424
1,2256
40
1,3626
1,4355
1,4239
1,4045
1,3863
1,3706
1,3571
1,3455
1,3354
1,3266
1,3119
1,2952
1,2758
1,2649
1,2529
1,2397
1,2249
1,2080
1,1883
60
1,3493
1,4188
1,4055
1,3348
1,3657
1,3491
1,3349
1,3226
1,3119
1,3026
1,2780
1,2691
1,2481
1,2361
1,2229
1,2081
1,1912
1,1715
1,1474
120
1,3362
1,4024
1,3873
1,3654
1,3453
1,3278
1,3128
1,2999
1,2886
1,2787
1,2621
1,2428
1,2200
1,2068
1,1921
1,1752
1,1555
1,1314
1,0987
1,3233
1,3863
1,3694
1,3463
1,3251
1,3068
1,2910
1,2774
1,2654
1,2549
1,2371
1,2163
1,1914
1,1767
1,1600
1,1404
1,1164
1,0838
1,0000
Таблица Г.3
Значения квантилей F-распределения уровня 
Значения квантилей F-распределения уровня для степеней свободы 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120
1
405300
500000
540400
562500
576400
585900
592900
598100
602300
605600
610700
615800
620900
623500
626100
628700
631300
634000
636600
2
998,5
999,0
999,2
999,2
999,3
999,3
999,4
999,4
999,4
999,4
999,4
999,4
999,4
999,5
999,5
999,5
999,5
999,5
999,5
3
167,0
148,5
141,1
137,1
134,6
132,8
131,6
130,6
129,9
129,2
128,3
127,4
126,4
125,9
125,4
125,0
124,5
124,0
123,5
4
74,14
61,25
56,18
53,44
51,71
50,53
49,66
49,00
48,47
48,05
47,41
46,76
46,10
45,77
45,43
45,09
44,75
44,40
44,05
5
47,18
37,12
33,20
31,09
29,75
28,84
28,16
27,64
27,24
26,92
26,42
25,91
25,39
25,14
24,87
26,40
24,33
24,06
23,79
6
35,51
27,00
23,70
21,92
20,81
20,03
19,46
19,03
18,69
18,41
17,99
17,56
17,12
16,89
16,67
16,44
16,21
15,99
15,75
7
29,25
21,69
18,77
17,19
16,21
15,52
15,02
14,63
14,33
14,08
13,71
13,32
12,93
12,73
12,53
12,33
12,12
11,91
11,70
8
25,42
18,49
15,83
14,39
13,49
12,86
12,40
12,04
11,77
11,54
11,19
10,84
10,48
10,30
10,11
9,92
9,73
9,53
9,33
9
22,86
16,39
13,90
12,56
11,71
11,13
10,70
10,37
10,11
9,89
9,57
9,24
8,90
8,72
8,55
8,37
8,19
8,00
7,81
10
21,04
14,91
12,55
11,28
10,48
9,92
9,52
9,20
8,96
8,75
8,45
8,13
7,80
7,64
7,47
7,30
7,12
6,94
6,76
11
19,69
13,81
11,56
10,35
9,58
9,05
8,66
8,35
8,12
7,92
7,63
7,32
7,01
6,85
6,68
6,52
6,35
6,17
6,00
12
18,64
12,97
10,80
9,63
8,89
8,38
8,00
7,71
7,48
7,29
7,00
6,71
6,40
6,25
6,09
5,93
5,76
5,59
5,42
13
17,81
12,31
10,21
9,07
8,35
7,86
7,49
7,21
6,98
6,80
6,52
6,23
5,93
5,78
5,63
5,47
5,30
5,14
4,97
14
17,14
11,78
9,73
8,62
7,92
7,43
7,08
6,80
6,58
6,40
6,13
5,85
5,56
5,41
5,25
5,10
4,94
4,77
4,60
15
16,59
11,34
9,34
8,25
7,57
7,09
6,74
6,47
6,26
6,08
5,81
5,54
5,25
5,10
4,95
4,80
4,64
4,47
4,31
16
16,12
10,97
9,00
7,94
7,27
6,81
6,46
6,19
5,98
5,81
5,55
5,27
4,99
4,85
4,70
4,54
4,39
4,23
4,06
17
15,72
10,66
8,73
7,68
7,02
6,56
6,22
5,96
5,75
5,58
5,32
5,05
4,78
4,63
4,48
4,33
4,18
4,02
3,85
18
15,38
10,39
8,49
7,46
6,81
6,35
6,02
5,76
5,56
5,39
5,13
4,87
4,59
4,45
4,30
4,15
4,00
3,84
3,67
19
15,08
10,16
8,28
7,26
6,62
6,18
5,85
5,59
5,39
5,22
4,97
4,70
4,43
4,29
4,14
3,99
3,84
3,68
3,51
20
14,82
9,95
8,10
7,10
6,46
6,02
5,69
5,44
5,24
5,08
4,82
4,56
4,29
4,15
4,00
3,86
3,70
3,54
3,38
21
14,59
9,77
7,94
6,95
6,32
5,88
5,56
5,31
5,11
4,95
4,70
4,44
4,17
4,03
3,88
3,74
3,58
3,42
3,26
22
14,38
9,61
7,80
6,81
6,19
5,76
5,44
5,19
4,99
4,83
4,58
4,33
4,06
3,92
3,78
3,63
3,48
3,32
3,15
23
14,19
9,47
7,67
6,69
6,08
5,65
5,33
5,09
4,89
4,73
4,48
4,23
4,23
3,82
3,68
3,53
3,38
3,22
3,05
24
14,03
9,34
7,55
6,59
5,98
5,55
5,23
4,99
4,80
4,64
4,39
4,14
3,87
3,74
3,59
3,45
3,29
3,14
2,97
25
13,88
9,22
7,45
6,49
5,88
5,46
5,15
4,91
4,71
4,56
4,31
4,06
3,79
3,66
3,52
3,37
3,22
3,06
2,89
26
13,74
9,12
7,36
6,41
5,80
5,38
5,07
4,83
4,64
4,48
4,24
3,99
3,72
3,59
3,44
3,30
3,15
2,99
2,82
27
13,61
9,02
7,27
6,33
5,73
5,31
5,00
4,76
4,57
4,41
4,17
3,92
3,66
3,52
3,38
3,23
3,08
2,92
2,75
28
13,50
8,93
7,19
6,25
5,66
5,24
4,93
4,69
4,50
4,35
4,11
3,86
3,60
3,46
3,32
3,18
3,02
2,86
2,69
29
13,39
8,85
7,12
6,19
5,59
5,18
4,87
4,64
4,45
4,29
4,05
3,80
3,54
3,41
3,27
3,12
2,97
2,81
2,64
30
13,29
8,77
7,05
6,12
5,53
5,12
4,82
4,58
4,39
4,24
4,00
3,75
3,49
3,36
3,22
3,07
2,92
2,76
2,59
40
12,61
8,25
6,60
5,70
5,13
4,73
4,44
4,21
4,02
3,87
3,64
3,40
3,15
3,01
2,87
2,73
2,57
2,41
2,23
60
11,97
7,76
6,17
5,31
4,76
4,37
4,09
3,87
3,69
3,54
3,31
3,08
2,83
2,69
2,55
2,41
2,25
2,08
1,89
120
11,38
7,32
5,79
4,95
4,42
4,04
3,77
3,55
3,38
3,24
3,02
2,78
2,53
2,40
2,26
2,11
1,95
1,76
1,54
10,83
6,91
5,42
4,62
4,10
3,74
3,47
3,27
3,10
2,96
2,74
2,51
2,27
2,13
1,99
1,84
1,66
1,45
1,00
Таблица Г.4
Значения квантилей F-распределения уровня 
Квантили F-распределения уровня для степеней свободы 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
24
30
40
50
60
100
120
200
500
1
1620000
2000000
2160000
2250000
2310000
2340000
2370000
2390000
2410000
2420000
2430000
2440000
2460000
2480000
2490000
2500000
2510000
2520000
2520000
2530000
2530000
2530000
2540000
2540000
2
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
2000
3
266
237
225
218
214
211
209
208
207
206
204
204
203
201
200
199
199
198
198
197
197
197
196
196
4
106
87,4
80,1
76,1
73,6
71,9
70,6
69,7
68,9
68,3
67,8
67,4
66,5
65,5
65,1
64,6
64,1
63,8
63,6
63,2
63,1
62,9
62,7
62,6
5
63,6
49,8
44,4
41,5
39,7
38,5
37,6
36,9
36,4
35,9
35,6
35,2
34,6
33,9
33,5
33,1
32,7
32,5
32,3
32,1
32,0
31,8
31,7
31,6
6
46,1
34,8
30,4
28,1
26,6
25,6
24,9
24,3
23,9
23,5
23,2
23,0
22,4
21,9
21,7
21,4
21,1
20,9
20,7
20,5
20,4
20,3
20,2
20,1
7
37,0
27,2
23,5
21,4
20,2
19,3
18,7
18,2
17,8
17,5
17,2
17,0
16,5
16,0
15,7
15,5
15,2
15,1
15,0
14,7
14,7
14,6
14,5
14,4
8
31,6
22,8
19,4
17,6
16,4
15,7
15,1
14,6
14,3
14,0
13,8
13,6
13,1
12,7
12,5
12,2
12,0
11,8
11,8
11,6
11,5
11,4
11,4
11,3
9
28,0
19,9
16,8
15,1
14,1
13,3
12,8
12,4
12,1
11,8
11,6
11,4
11,0
10,6
10,4
10,2
9,94
9,80
9,1
9,53
9,49
9,40
9,32
9,26
10
25,5
17,9
15,0
13,4
12,4
11,8
11,3
10,9
10,6
10,3
10,1
9,93
9,56
9,16
8,96
8,75
8,54
8,42
8,33
8,16
8,12
8,04
7,96
7,90
11
23,6
16,4
13,6
12,2
11,2
10,6
10,1
9,76
9,48
9,24
9,04
8,88
8,52
8,14
7,94
7,75
7,55
7,43
7,35
7,18
7,14
7,06
6,98
6,93
12
22,2
15,3
12,7
11,2
10,4
9,74
9,28
8,94
8,66
8,43
8,24
8,08
7,74
7,37
7,18
7,00
6,80
6,68
6,61
6,45
6,41
6,33
6,25
6,20
15
19,5
13,2
10,8
9,48
8,66
8,10
7,68
7,36
7,11
6,91
6,75
6,60
6,27
5,93
5,75
5,58
5,40
5,29
5,21
5,06
5,02
4,94
4,87
4,83
20
17,2
11,4
9,20
8,02
7,28
6,76
6,38
6,08
5,85
5,66
5,51
5,38
5,07
4,75
4,58
4,42
4,24
4,15
4,07
3,93
3,90
3,82
3,75
3,70
24
16,2
10,6
8,52
7,39
6,68
6,18
5,82
5,54
5,31
5,13
4,98
4,85
4,55
4,25
4,09
3,93
3,76
3,66
3,59
3,44
3,41
3,33
3,27
3,22
30
15,2
9,90
7,90
6,82
6,14
5,66
5,31
5,04
4,82
4,65
4,51
4,38
4,10
3,80
3,65
3,48
3,32
3,22
3,15
3,00
2,97
2,89
2,82
2,78
40
14,4
9,25
7,33
6,30
5,64
5,19
4,85
4,59
4,38
4,21
4,07
3,95
3,68
3,39
3,24
3,08
2,92
2,82
2,74
2,60
2,57
2,49
2,41
2,37
60
13,6
8,65
6,81
5,82
5,20
4,76
4,44
4,18
3,98
3,82
3,69
3,57
3,30
3,02
2,87
2,71
2,55
2,45
2,38
2,23
2,19
2,11
2,03
1,98
120
12,8
8,10
6,34
5,39
4,79
4,37
4,07
3,82
3,63
3,47
3,34
3,22
3,96
2,67
2,53
2,38
2,21
2,11
2,01
1,88
1,84
1,75
1,67
1,60
12,1
7,60
5,91
5,00
4,42
4,02
3,72
3,48
3,30
3,14
3,02
2,90
2,65
2,37
2,22
2,07
1,91
1,79
1,71
1,53
1,48
1,36
1,22
1,00
Таблица Г.5
Значения квантилей F-распределения уровня 
Квантили F-распределения уровня для степеней свободы 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120
1
16211
20000
21615
22500
23056
23437
23715
23925
24091
24224
24426
24630
24836
24940
25044
25148
25253
25339
25465
2
198,50
199,00
199,17
199,25
199,30
199,33
199,36
199,37
199,39
199,40
199,42
199,43
199,45
199,46
199,47
199,47
199,48
199,49
199,51
3
55,552
49,799
47,467
46,195
45,392
44,838
44,434
44,126
43,882
43,686
43,387
43,085
42,778
42,622
42,466
42,308
42,149
41,989
41,829
4
31,333
26,284
24,259
23,155
22,456
21,975
21,622
21,352
21,139
20,967
20,705
20,438
20,167
20,030
19,892
19,752
19,611
19,468
19,325
5
22,785
18,314
16,530
15,556
14,940
14,513
14,200
13,961
13,772
13,618
13,384
13,146
12,903
12,780
12,656
12,530
12,402
12,274
12,144
6
18,635
14,544
12,917
12,028
11,464
11,073
10,786
10,566
10,391
10,250
10,034
9,8140
9,5888
9,4741
9,3583
9,2408
9,1219
9,0015
8,8793
7
16,236
12,404
10,882
10,050
9,5221
9,1554
8,8854
8,6781
8,5138
8,3803
8,1764
7,9678
7,7540
7,6450
7,5345
7,4225
7,3088
7,1933
7,0760
8
14,688
11,042
9,5965
8,8051
8,3018
7,9520
7,6942
7,4960
7,3386
7,2107
7,0149
6,8143
6,6082
6,5029
6,3961
6,2875
6,1772
6,0649
5,9505
9
13,614
10,107
8,7171
7,9559
7,4711
7,1338
6,8849
6,6933
6,5411
6,4171
6,2274
6,0325
5,8318
5,7292
5,6248
5,5186
5,4104
5,3001
5,1875
10
12,826
9,4270
8,0807
7,3428
6,8723
6,5446
6,3025
6,1159
5,9676
5,8467
5,6613
5,4707
5,2740
5,1732
5,0705
4,9659
4,8592
4,7501
4,6385
11
12,226
8,9122
7,6004
6,8809
6,4217
6,1015
5,8648
5,6821
5,5368
5,4182
5,2363
5,0489
4,8552
4,7557
4,6543
4,5508
4,4450
4,3367
4,2256
12
11,754
8,5096
7,2258
6,5211
6,0711
5,7570
5,5245
5,3451
5,2021
5,0855
4,9063
4,7214
4,5299
4,4315
4,3309
4,2282
4,1229
4,0149
3,9039
13
11,374
8,1865
6,9257
6,2335
5,7910
5,4819
5,2529
5,0761
4,9351
4,8199
4,6429
4,4600
4,2703
4,1726
4,0727
3,9704
3,8665
3,7577
3,6465
14
11,060
7,9216
6,6803
5,9984
5,5623
5,2574
5,0313
4,8566
4,7173
4,6034
4,4281
4,2468
4,0585
3,9614
3,8619
3,7600
3,6553
3,5473
3,4359
15
10,798
7,7008
6,4760
5,8029
5,3721
5,0708
4,8473
4,6743
4,5364
4,4236
4,2498
4,0698
3,8826
3,7859
3,6867
3,5850
3,4803
3,3722
3,2602
16
10,575
7,5138
6,3034
5,6378
5,2117
4,9134
4,6920
4,5207
4,3838
4,2719
4,0994
3,9205
3,7342
3,6378
3,5388
3,4372
3,3324
3,2240
3,1115
17
10,384
7,3536
6,1556
5,4967
5,0746
4,7789
4,5594
4,3893
4,2535
4,1423
3,9709
3,7929
3,6073
3,5112
3,4124
3,3107
3,2058
3,0971
2,9839
18
10,218
7,2148
6,0277
5,3746
4,9560
4,6627
4,4448
4,2759
4,1410
4,0305
3,8599
3,6827
3,4977
3,4017
3,3030
3,2014
3,0962
2,9871
2,8732
19
10,073
7,0935
5,9161
5,2181
4,8526
4,5614
4,3448
4,1770
4,0428
3,9329
3,7631
3,5866
3,4020
3,3062
3,2075
3,1058
3,0004
2,8908
2,7762
20
9,9439
6,9865
5,8177
5,1743
4,7616
4,4721
4,2569
4,0900
3,9564
3,8470
3,6779
3,5020
3,3178
3,2220
3,1234
3,0215
2,9159
2,8058
2,6904
21
9,8295
6,8914
5,7304
5,0911
4,6808
4,3931
4,1789
4,0128
3,8799
3,7709
3,6024
3,4270
3,2431
3,1474
3,0488
2,9467
2,8408
2,7302
2,6140
22
9,7271
6,8064
5,6524
5,0168
4,6088
4,3225
4,1094
3,9440
3,8116
3,7030
3,5350
3,3600
3,1764
3,0807
2,9821
2,8799
2,7736
2,6625
2,5455
23
9,6348
6,7300
5,5823
4,9500
4,5441
4,2591
4,0469
3,8822
3,7502
3,6420
3,4745
3,2999
3,1165
3,0208
2,9221
2,8198
2,7132
2,6016
2,4837
24
9,5513
6,6609
5,5190
4,8898
4,4857
4,2019
3,9905
3,8264
3,6949
3,5870
3,4199
3,2456
3,0624
2,9667
2,8679
2,7654
2,6585
2,5463
2,4276
25
9,4753
6,5982
5,4615
4,8351
4,4327
4,1500
3,9394
3,7758
3,6447
3,5370
3,3704
3,1963
3,0133
2,9176
2,8187
2,7160
2,6088
2,4960
2,3765
26
9,4059
6,5409
5,4091
4,7852
4,3844
4,1027
3,8928
3,7297
3,5989
3,4916
3,3252
3,1515
2,9685
2,8728
2,7738
2,6709
2,5633
2,4501
2,3297
27
9,3423
6,4885
5,3611
4,7396
4,3402
4,0594
3,8501
3,6875
3,5571
3,4499
3,2839
3,1104
2,9275
2,8318
2,7327
2,6296
2,5217
2,4079
2,2867
28
9,2838
6,4403
5,3170
4,6977
4,2996
4,0197
3,8110
3,6487
3,5186
3,4117
3,2460
3,0727
2,8899
2,7941
2,6949
2,5916
2,4834
2,3690
2,2469
29
9,2297
6,3958
5,2764
4,6591
4,2622
3,9830
3,7749
3,6130
3,4832
3,3765
3,2111
3,0379
2,8551
2,7594
2,6601
2,5565
2,4479
2,3331
2,2102
30
9,1797
6,3547
5,2388
4,6233
4,2276
3,9492
3,7416
3,5801
3,4505
3,3440
3,1787
3,0057
2,8230
2,7272
2,6278
2,5241
2,4151
2,2998
2,1760
40
8,8278
6,0664
4,9759
4,3738
3,9860
3,7129
3,5088
3,3498
3,2220
3,1167
2,9531
2,7811
2,5984
2,5020
2,4015
2,2958
2,1838
2,0635
1,9318
60
8,4946
5,7950
4,7290
4,1399
3,7600
3,4918
3,2911
3,1344
3,0083
2,9042
2,7419
2,5705
2,3872
2,2898
2,1874
2,0789
1,9622
1,8341
1,6885
120
8,1790
5,5393
4,4973
3,9207
3,5482
3,2849
3,0874
2,9330
2,8083
2,7052
2,5439
2,3727
2,1881
2,0890
1,9839
1,8709
1,7469
1,6055
1,4311
7,8794
5,2983
4,2794
3,7151
3,3499
3,0913
2,8968
2,7444
2,6210
2,5188
2,3583
2,1868
1,9998
1,8983
1,7891
1,6691
1,5325
1,3637
1,0000
Таблица Г.6
Значения квантилей F-распределения уровня 
Квантили F-распределения уровня для степеней свободы 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120
1
39,864
49,500
53,593
55,833
57,241
58,204
58,906
59,439
59,858
60,195
60,705
61,220
61,740
62,002
62,265
62,529
62,794
63,061
63,328
2
8,5263
9,0000
9,1618
9,2434
9,2926
9,3255
9,3491
9,3668
9,3805
9,3916
9,4081
9,4247
9,4413
9,4496
9,4579
9,4663
9,4746
9,4829
9,4913
3
5,5383
5,4624
5,3908
5,3427
5,3092
5,2847
5,2662
5,2517
5,2400
5,2304
5,2156
5,2003
5,1845
5,1764
5,1681
5,1597
5,1512
5,1425
5,1337
4
4,5448
4,3246
4,1908
4,1073
4,0506
4,0098
3,9790
3,9549
3,9357
3,9199
3,8955
3,8703
3,8443
3,8310
3,8174
3,8036
3,7896
3,7753
3,7607
5
4,0604
3,7797
3,6195
3,5202
3,4530
3,4045
3,3679
3,3393
3,3163
3,2974
3,2682
3,2380
3,2067
3,1905
3,1741
3,1573
3,1402
3,1228
3,1050
6
3,7760
3,4633
3,2888
3,1808
3,1075
3,0546
3,0145
2,9830
2,9577
2,9369
2,9047
2,8712
2,8363
2,8183
2,8000
2,7812
2,7620
2,7423
2,7222
7
3,5894
3,2574
3,0741
2,9605
2,8833
2,8274
2,7849
2,7516
2,7247
2,7025
2,6681
2,6322
2,5947
2,5753
2,5555
2,5351
2,5142
2,4928
2,4708
8
3,4597
3,1131
2,9238
2,8064
2,7265
2,6683
2,6241
2,5893
2,5612
2,5380
2,5020
2,4642
2,4246
2,4041
2,3830
2,3614
2,3391
2,3162
2,2926
9
3,3603
3,0065
2,8129
2,6927
2,6106
2,5509
2,5053
2,4694
2,4403
2,4163
2,3789
2,3396
2,2983
2,2768
2,2547
2,2320
2,2085
2,1843
2,1592
10
3,2850
2,9245
2,7277
2,6053
2,5216
2,4606
2,4140
2,3772
2,3473
2,3226
2,2841
2,2435
2,2007
2,1784
2,1554
2,1317
2,1072
2,0818
2,0554
11
3,2252
2,8595
2,6602
2,5362
2,4512
2,3891
2,3416
2,3040
2,2735
2,2482
2,2087
2,1671
2,1230
2,1000
2,0762
2,0516
2,0261
1,9997
1,9721
12
3,1765
2,8068
2,6055
2,4801
2,3940
2,3310
2,2828
2,2446
2,2135
2,1878
2,1474
2,1049
2,0597
2,0360
2,0115
1,9861
1,9597
1,9323
1,9036
13
3,1362
2,7632
2,5603
2,4337
2,3467
2,2830
2,2341
2,1953
2,1638
2,1376
2,0966
2,0532
2,0070
1,9827
1,9576
1,9315
1,9043
1,8759
1,8462
14
3,1022
2,7265
2,5222
2,3947
2,3069
2,2426
2,1931
2,1539
2,1220
2,0954
2,0537
2,0095
1,9625
1,9377
1,9119
1,8852
1,8572
1,8280
1,7973
15
3,0732
2,6952
2,4898
2,3614
2,2730
2,2081
2,1582
2,1185
2,0862
2,0593
2,0171
1,9722
1,9243
1,8990
1,8728
1,8454
1,8168
1,7867
1,7551
16
3,0481
2,6682
2,4618
2,3327
2,2438
2,1783
2,1280
2,0880
2,0553
2,0281
1,9854
1,9399
1,8913
1,8656
1,8388
1,8108
1,7816
1,7507
1,7182
17
3,0262
2,6446
2,4374
2,3077
2,2183
2,1524
2,1017
2,0613
2,0284
2,0009
1,9577
1,9117
1,8624
1,8362
1,8090
1,7805
1,7506
1,7191
1,6856
18
3,0070
2,6239
2,4160
2,2858
2,1958
2,1296
2,0785
2,0379
2,0047
1,9770
1,9333
1,8868
1,8368
1,8103
1,7827
1,7537
1,7232
1,6910
1,6567
19
2,9899
2,6056
2,3970
2,2663
2,1760
2,1094
2,0580
2,0171
1,9836
1,9557
1,9117
1,8647
1,8142
1,7873
1,7592
1,7298
1,6988
1,6659
1,6308
20
2,9747
2,5893
2,3801
2,2489
2,1582
2,0913
2,0397
1,9985
1,9649
1,9367
1,8924
1,8449
1,7938
1,7667
1,7382
1,7083
1,6768
1,6433
1,6074
21
2,9609
2,5746
2,3649
2,2333
2,1423
2,0751
2,0232
1,9819
1,9480
1,9197
1,8750
1,8272
1,7756
1,7481
1,7193
1,6890
1,6569
1,6228
1,5862
22
2,9486
2,5613
2,3512
2,2193
2,1279
2,0605
2,0084
1,9668
1,9327
1,9043
1,8593
1,8111
1,7590
1,7312
1,7021
1,6714
1,6389
1,6042
1,5668
23
2,9374
2,5493
2,3387
2,2065
2,1149
2,0472
1,9949
1,9531
1,9189
1,8903
1,8450
1,7964
1,7439
1,7159
1,6864
1,6554
1,6224
1,5871
1,5490
24
2,9271
2,5383
2,3274
2,1949
2,1030
2,0351
1,9826
1,9407
1,9063
1,8775
1,8319
1,7831
1,7302
1,7019
1,6721
1,6407
1,6073
1,5715
1,5327
25
2,9177
2,5283
2,3170
2,1843
2,0922
2,0241
1,9714
1,9292
1,8947
1,8658
1,8200
1,7708
1,7175
1,6890
1,6589
1,6272
1,5934
1,5570
1,5176
26
2,9091
2,5191
2,3075
2,1745
2,0822
2,0139
1,9610
1,9188
1,8841
1,8550
1,8090
1,7596
1,7059
1,6771
1,6468
1,6147
1,5805
1,5437
1,5036
27
2,9012
2,5106
2,2987
2,1655
2,0730
2,0045
1,9515
1,9091
1,8743
1,8451
1,7989
1,7492
1,6951
1,6662
1,6356
1,6032
1,5686
1,5313
1,4906
28
2,8939
2,5028
2,2906
2,1571
2,0645
1,9959
1,9427
1,9001
1,8652
1,8359
1,7895
1,7395
1,6852
1,6560
1,6252
1,5925
1,5575
1,5198
1,4784
29
2,8871
2,4955
2,2831
2,1494
2,0566
1,9878
1,9345
1,8918
1,8568
1,8274
1,7808
1,7306
1,6759
1,6465
1,6155
1,5825
1,5472
1,5090
1,4670
30
2,8807
2,4887
2,2761
2,1422
2,0492
1,9803
1,9269
1,8841
1,8490
1,8195
1,7727
1,7223
1,6673
1,6377
1,6065
1,5732
1,5376
1,4989
1,4564
40
2,8354
2,4404
2,2261
2,0909
1,9968
1,9269
1,8725
1,8289
1,7929
1,7627
1,7146
1,6624
1,6052
1,5741
1,5411
1,5056
1,4672
1,4248
1,3769
60
2,7914
2,3933
2,1774
2,0410
1,9457
1,8747
1,8194
1,7748
1,7380
1,7070
1,6574
1,6034
1,5435
1,5107
1,4755
1,4373
1,3952
1,3476
1,2915
120
2,7478
2,3473
2,1300
1,9923
1,8959
1,8238
1,7675
1,7220
1,6843
1,6524
1,6012
1,5450
1,4821
1,4472
1,4094
1,3676
1,3203
1,2646
1,1926
2,7055
2,3026
2,0838
1,9449
1,8473
1,7741
1,7167
1,6702
1,6315
1,5987
1,5458
1,4871
1,4206
1,3832
1,3419
1,2951
1,2400
1,1686
1,0000
Таблица Г.7
Значения квантилей F-распределения уровня 
Квантили F-распределения уровня для степеней свободы 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120
1
161,45
199,50
215,71
224,58
230,16
233,99
236,77
238,88
240,54
241,88
243,91
245,95
248,01
249,05
250,09
251,14
252,20
253,25
254,32
2
18,513
19,000
19,164
19,247
19,296
19,330
19,353
19,371
19,385
19,396
19,413
19,429
19,446
19,454
19,462
19,471
19,479
19,487
19,496
3
10,128
9,5521
9,2766
9,1172
9,0135
8,9406
8,8868
8,8452
8,8123
8,7855
8,7446
8,7029
8,6602
8,6385
8,6166
8,5944
8,5720
8,5494
8,5265
4
7,7086
6,9443
6,5914
6,3883
6,2560
6,1631
6,0942
6,0410
5,9988
5,9644
5,9117
5,8578
5,8025
5,7744
5,7459
5,7170
5,6878
5,6581
5,6281
5
6,6079
5,7861
5,4095
5,1922
5,0503
4,9503
4,8759
4,8183
4,7725
4,7351
4,6777
4,6188
4,5581
4,5272
4,4957
4,4638
4,4314
4,3984
4,3650
6
5,9874
5,1433
4,7571
4,5337
4,3874
4,2839
4,2066
4,1468
4,0990
4,0600
3,9999
3,9381
3,8742
3,8415
3,8082
3,7743
3,7398
3,7047
3,6688
7
5,5914
4,7374
4,3468
4,1203
3,9715
3,8660
3,7870
3,7257
3,6767
3,6365
3,5747
3,5108
3,4445
3,4105
3,3758
3,3404
3,3043
3,2674
3,2298
8
5,3177
4,4590
4,0662
3,8378
3,6875
3,5806
3,5005
3,4381
3,3881
3,3472
3,2840
3,2184
3,1503
3,1152
3,0794
3,0428
3,0053
2,9669
2,9276
9
5,1174
4,2565
3,8626
3,6331
3,4817
3,3738
3,2927
3,2296
3,1789
3,1373
3,0729
3,0061
2,9365
2,9005
2,8637
2,8259
2,7872
2,7475
2,7067
10
4,9646
4,1028
3,7083
3,4780
3,3258
3,2172
3,1355
3,0717
3,0204
2,9782
2,9130
2,8450
2,7740
2,7372
2,6996
2,6609
2,6211
2,5801
2,5379
11
4,8443
3,9823
3,5874
3,3567
3,2039
3,0946
3,0123
2,9480
2,8962
2,8536
2,7876
2,7186
2,6464
2,6090
2,5705
2,5309
2,4901
2,4480
2,4045
12
4,7472
3,8853
3,4903
3,2592
3,1059
2,9961
2,9134
2,8486
2,7964
2,7534
2,6866
2,6169
2,5436
2,5055
2,4663
2,4259
2,3842
2,3410
2,2962
13
4,6672
3,8056
3,4105
3,1791
3,0254
2,9153
2,8321
2,7669
2,7144
2,6710
2,6037
2,5331
2,4589
2,4202
2,3803
2,3392
2,2966
2,2524
2,2064
14
4,6001
3,7389
3,3439
3,1122
2,9582
2,8477
2,7642
2,6987
2,6458
2,6021
2,5342
2,4630
2,3879
2,3487
2,3082
2,2664
2,2230
2,1778
2,1307
15
4,5431
3,6823
3,2874
3,0556
2,9013
2,7905
2,7066
2,6408
2,5876
2,5437
2,4753
2,4035
2,3275
2,2878
2,2468
2,2043
2,1601
2,1141
2,0658
16
4,4940
3,6337
3,2389
3,0069
2,8524
2,7413
2,6572
2,5911
2,5377
2,4935
2,4247
2,3522
2,2756
2,2354
2,1938
2,1507
2,1058
2,0589
2,0096
17
4,4513
3,5915
3,1968
2,9647
2,8100
2,6987
2,6143
2,5480
2,4943
2,4499
2,3807
2,3077
2,2304
2,1898
2,1477
2,1040
2,0584
2,0107
1,9604
18
4,4139
3,5546
3,1599
2,9277
2,7729
2,6613
2,5767
2,5102
2,4563
2,4117
2,3421
2,2686
2,1906
2,1497
2,1071
2,0629
2,0166
1,9681
1,9168
19
4,3808
3,5219
3,1274
2,8951
2,7401
2,6283
2,5435
2,4768
2,4227
2,3779
2,3080
2,2341
2,1555
2,1141
2,0712
2,0264
1,9796
1,9302
1,8780
20
4,3513
3,4928
3,0984
2,8661
2,7109
2,5990
2,5140
2,4471
2,3928
2,3479
2,2776
2,2033
2,1242
2,0825
2,0391
1,9938
1,9464
1,8963
1,8432
21
4,3248
3,4668
3,0725
2,8401
2,6848
2,5727
2,4876
2,4205
2,3661
2,3210
2,2504
2,1757
2,0960
2,0540
2,0102
1,9645
1,9165
1,8657
1,8117
22
4,3009
3,4434
3,0491
2,8167
2,6613
2,5491
2,4638
2,3965
3,3419
2,2967
2,2258
2,1508
2,0707
2,0283
1,9842
1,9380
1,8895
1,8380
1,7831
23
4,2793
3,4221
3,0280
2,7955
2,6400
2,5277
2,4422
2,3748
2,3201
2,2747
2,2036
2,1282
2,0476
2,0050
1,9605
1,9139
1,8649
1,8128
1,7570
24
4,2597
3,4028
3,0088
2,7763
2,6207
2,5082
2,4226
2,3551
2,3002
2,2547
2,1834
2,1077
2,0267
1,9838
1,9390
1,8920
1,8424
1,7897
1,7331
25
4,2417
3,3852
2,9912
2,7587
2,6030
2,4904
2,4047
2,3371
2,2821
2,2365
2,1649
2,0889
2,0075
1,9643
1,9192
1,8718
1,8217
1,7684
1,7110
26
4,2252
3,3690
2,9751
2,7426
2,5868
2,4741
2,3883
2,3205
2,2655
2,2197
2,1479
2,0716
1,9898
1,9464
1,9010
1,8533
1,8027
1,7488
1,6906
27
4,2100
3,3541
2,9604
2,7278
2,5719
2,4591
2,3732
2,3053
2,2501
2,2043
2,1323
2,0558
1,9736
1,9299
1,8842
1,8361
1,7851
1,7307
1,6717
28
4,1960
3,3404
2,9467
2,7141
2,5581
2,4453
2,3593
2,2913
2,2360
2,1900
2,1179
2,0411
1,9586
1,9147
1,8687
1,8203
1,7689
1,7138
1,6541
29
4,1830
3,3277
2,9340
2,7014
2,5454
2,4324
2,3463
2,2782
2,2229
2,1768
2,1045
2,0275
1,9446
1,9005
1,8543
1,8055
1,7537
1,6981
1,6377
30
4,1709
3,3158
2,9223
2,6896
2,5336
2,4205
2,3343
2,2662
2,2107
2,1646
2,0921
2,0148
1,9317
1,8874
1,8409
1,7918
1,7396
1,6835
1,6223
40
4,0848
3,2317
2,8387
2,6060
2,4459
2,3359
2,2400
2,1802
2,1240
2,0772
2,0035
1,9245
1,8389
1,7929
1,7444
1,6928
1,6373
1,5766
1,5089
60
4,0012
3,1504
2,7581
2,5252
2,3683
2,2540
2,1665
2,0970
2,0401
1,9926
1,9174
1,8364
1,7480
1,7001
1,6491
1,5943
1,5343
1,4673
1,3893
120
3,9201
3,0718
2,6802
2,4472
2,2900
2,1750
2,0867
2,0164
1,9588
1,9105
1,8337
1,7505
1,6587
1,6084
1,5543
1,4952
1,4290
1,3519
1,2539
3,8415
2,9957
2,6049
2,3719
2,2141
2,0986
2,0096
1,9384
1,8799
1,8307
1,7522
1,6664
1,5705
1,5173
1,4591
1,3940
1,3180
1,2214
1,0000
Таблица Г.8
Значения квантилей F-распределения уровня 
Квантили F-распределения уровня для степеней свободы 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
24
30
40
60
120
1
647,79
799,50
864,16
899,58
921,85
937,11
948,22
956,66
963,28
968,63
976,71
984,87
993,10
997,25
1001,4
1005,6
1009,8
1014,0
1018,3
2
38,506
39,000
39,165
39,248
39,298
39,331
39,355
39,373
39,387
39,398
39,415
39,431
39,448
39,456
39,465
39,473
39,481
39,490
39,498
3
17,443
16,044
15,439
15,101
14,885
14,735
14,624
14,540
14,473
14,419
14,337
14,253
14,167
14,124
14,081
14,037
13,992
13,947
13,902
4
12,218
10,649
9,9792
9,6045
9,3645
9,1973
9,0741
8,9796
8,9047
8,8439
8,7512
8,6565
8,5599
8,5109
8,4613
8,4111
8,3604
8,3092
8,2573
5
10,007
8,4336
7,7636
7,3879
7,1464
6,9777
6,8531
6,7572
6,6810
6,6192
6,5246
6,4227
6,3285
6,2780
6,2269
6,1752
6,1225
6,0693
6,0153
6
8,8131
7,2598
6,5988
6,2272
5,9876
5,8197
5,6955
5,5996
5,5234
5,4613
5,3662
5,2687
5,1684
5,1172
5,0652
5,0125
4,9587
4,9045
4,8491
7
8,0727
6,5415
5,8898
5,5226
5,2852
5,1186
4,9949
4,8994
4,8232
4,7611
4,6658
4,5678
4,4667
4,4150
4,3624
4,3089
4,2544
4,1989
4,1423
8
7,5709
6,0595
5,4160
5,0526
4,8173
4,6517
4,5286
4,4332
4,3572
4,2951
4,1997
4,1012
3,9995
3,9472
3,8940
3,8398
3,7844
3,7279
3,6702
9
7,2093
5,7147
5,0781
4,7181
4,4844
4,3197
4,1971
4,1020
4,0260
3,9639
3,8682
3,7694
3,6669
3,6142
3,5604
3,5055
3,4493
3,3918
3,3329
10
6,9367
5,4564
4,8256
4,4683
4,2361
4,0721
3,9498
3,8549
3,7790
3,7168
3,6209
3,5217
3,4186
3,3654
3,3110
3,2554
3,1984
3,1399
3,0798
11
6,7241
5,2559
4,6300
4,2751
4,0440
3,8807
3,7586
3,6638
3,5879
3,5257
3,4296
3,3299
3,2261
3,1725
3,1176
3,0613
3,0035
2,9441
2,8828
12
6,5538
5,0959
4,4742
4,1212
3,8911
3,7283
3,6065
3,5118
3,4358
3,3736
3,2773
3,1772
3,0728
3,0187
2,9633
2,9063
2,8478
2,7874
2,7249
13
6,4143
4,9653
4,3472
3,9959
3,7667
3,6043
3,4827
3,3880
3,3120
3,2497
3,1532
3,0527
2,9477
2,8932
2,8373
2,7797
2,7204
2,6590
2,5955
14
6,2979
4,8567
4,2417
3,8919
3,6634
3,5014
3,3799
3,2853
3,2093
3,1469
3,0501
2,9493
2,8437
2,7888
2,7324
2,6742
2,6142
2,5519
2,4872
15
6,1995
4,7650
4,1528
3,8043
3,5764
3,4147
3,2934
3,1987
3,1227
3,0602
2,9633
2,8621
2,7559
2,7006
2,6437
2,5850
2,5242
2,4611
2,3953
16
6,1151
4,6867
4,0768
3,7294
3,5021
3,3406
3,2194
3,1248
3,0488
2,9862
2,8890
2,7875
2,6808
2,6252
2,5678
2,5085
2,4471
2,3831
2,3163
17
6,0420
4,6189
4,0112
3,6648
3,4379
3,2767
3,1556
3,0610
2,9849
2,9222
2,8249
2,7230
2,6158
2,5598
2,5021
2,4422
2,3801
2,3154
2,2474
18
5,9781
4,5597
3,9539
3,6083
3,3820
3,2209
3,0999
3,0053
2,9291
2,8664
2,7689
2,6667
2,5590
2,5027
2,4445
2,3842
2,3214
2,2558
2,1869
19
5,9216
4,5075
3,9034
3,5587
3,3327
3,1718
3,0509
2,9563
2,8800
2,8173
2,7196
2,6171
2,5089
2,4523
2,3937
2,3329
2,2695
2,2032
2,1333
20
5,8715
4,4613
5,8587
3,5147
3,2891
3,1283
3,0074
2,9128
2,8365
2,7737
2,6758
2,5731
2,4645
2,4076
2,3486
2,2873
2,2234
2,1562
2,0853
21
5,8266
4,4199
3,8188
3,4754
3,2501
3,0895
2,9686
2,8740
2,7977
2,7348
2,6368
2,5338
2,4247
2,3675
2,3082
2,2465
2,1819
2,1141
2,0422
22
5,7863
4,3828
3,7829
3,4401
3,2151
3,0546
2,9338
2,8392
2,7628
2,6998
2,6017
2,4984
2,3890
2,3315
2,2718
2,2097
2,1446
2,0760
2,0032
23
5,7498
4,3492
3,7505
3,4083
3,1835
3,0232
2,9024
2,8077
2,7313
2,6682
2,5699
2,4665
2,3567
2,2989
2,2389
2,1767
2,1107
2,0415
1,9677
24
5,7167
4,3187
3,7211
3,3794
3,1548
3,9946
2,8738
2,7791
2,7027
2,6396
2,5412
2,4374
2,3273
2,2693
2,2090
2,1460
2,0799
2,0099
1,9353
25
5,6864
4,2909
3,6943
3,3530
3,1287
2,9685
2,8478
2,7531
2,6766
2,6135
2,5149
2,4110
2,3005
2,2422
2,1816
2,1183
2,0517
1,9811
1,9055
26
5,6586
4,2655
3,6697
3,3289
3,1048
2,9447
2,8240
2,7293
2,6528
2,5895
2,4909
2,3867
2,2759
2,2174
2,1565
2,0928
2,0257
1,9545
1,8781
27
5,6331
4,2421
3,6472
3,3067
3,0828
2,9228
2,8021
2,7074
2,6309
2,5676
2,4688
2,3644
2,2533
2,1946
2,1334
2,0693
2,0018
1,9299
1,8527
28
5,6096
4,2205
3,6264
3,2863
3,0625
2,9027
2,7820
2,6872
2,6106
2,5473
2,4484
2,3438
2,2324
2,1735
2,1121
2,0477
1,9796
1,9072
1,8291
29
5,5878
4,2006
3,6072
3,2674
3,0438
2,8840
2,7633
2,6686
2,5919
2,5286
2,4295
2,3248
2,2131
2,1540
2,0923
2,0276
1,9591
1,8861
1,8072
30
5,5675
4,1821
3,5894
3,2499
3,0265
2,8667
2,7460
2,6513
2,5746
2,5112
2,4120
2,3072
2,1952
2,1359
2,0739
2,0089
1,9400
1,8664
1,7867
40
5,4239
4,0510
3,4633
3,1261
2,9037
2,7444
2,6238
2,5289
2,4519
2,3882
2,2882
2,1819
2,0677
2,0069
1,9429
1,8752
1,8028
1,7242
1,6371
60
5,2857
3,9253
3,3425
3,0077
2,7863
2,6274
2,5068
2,4117
2,3344
2,2702
2,1692
2,0613
1,9445
1,8817
1,8152
1,7440
1,6668
1,5810
1,4822
120
5,1524
3,8046
3,2270
2,8943
2,6740
2,5154
2,3948
2,2994
2,2217
2,1570
2,0548
1,9450
1,8249
1,7597
1,6899
1,6141
1,5299
1,4327
1,3104
5,0239
3,6889
3,1161
2,7858
2,5665
2,4082
2,2875
2,1918
2,1136
2,0483
1,9447
1,8326
1,7085
1,6402
1,5660
1,4835
1,3883
1,2684
1,0000
Таблица Г.9
Значения квантилей F-распределения уровня 
Квантили F-распределения уровня для степеней свободы 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
30
40
60
120
1
4052,2
4999,5
5403,3
5624,6
5763,7
5859,0
5928,3
5981,1
6022,5
6055,8
6106,3
6157,3
6208,7
6234,6
6260,7
6286,8
6313,0
6339,4
6366,0
2
98,503
99,000
99,166
99,249
99,299
99,332
99,356
99,374
99,388
99,399
99,416
99,432
99,449
99,458
99,466
99,474
99,483
99,491
99,499
3
34,116
30,817
29,457
28,710
28,237
27,911
27,672
27,489
27,345
27,229
27,052
26,872
26,690
26,598
26,505
26,411
26,316
26,221
26,125
4
21,198
18,000
16,694
15,977
15,522
15,207
14,976
14,799
14,659
14,546
14,374
14,198
14,020
13,929
13,838
13,745
13,652
13,558
13,463
5
16,258
13,274
12,060
11,392
10,967
10,672
10,672
10,289
10,158
10,051
9,8883
9,7222
9,5527
9,4665
9,3793
9,2912
9,2020
9,1118
9,0204
6
13,745
10,925
9,7795
9,1483
8,7459
8,4661
8,2600
8,1016
7,9761
7,8741
7,7183
7,5590
7,3958
7,3127
7,2285
7,1432
7,0568
6,9690
6,8861
7
12,246
9,5466
8,4513
7,8467
7,4604
7,1914
6,9928
6,8401
6,7188
6,6201
6,4691
6,3143
6,1554
6,0743
5,9921
5,9084
5,8236
5,7372
5,6495
8
11,259
8,6491
7,5910
7,0060
6,6318
6,3707
6,1776
6,0289
5,9106
5,8143
5,6668
5,5151
5,3591
5,2793
5,1981
5,1156
5,0316
4,9460
4,8588
9
10,561
8,0215
6,9919
6,4221
6,0569
5,8018
5,6129
5,4671
5,3511
5,2565
5,1114
4,9621
4,8080
4,7290
4,6486
4,5667
4,4831
4,3978
4,3105
10
10,044
7,5594
6,5523
5,9943
5,6363
5,3858
5,2001
5,0567
4,9424
4,8492
4,7059
4,5582
4,4054
4,3269
4,2469
4,1653
4,0819
3,9965
3,9090
11
9,6460
7,2057
6,2167
5,6683
5,3160
5,0692
4,8861
4,7445
4,6315
4,5393
4,3974
4,2509
4,0990
4,0209
3,9411
3,8596
3,7761
3,6904
3,6025
12
9,3302
6,9266
5,9526
5,4119
5,0643
4,8206
4,6395
4,4994
4,3875
4,2961
4,1553
4,0096
3,8584
3,7805
3,7008
3,6192
3,5355
3,4494
3,3608
13
9,0738
6,7010
5,7394
5,2053
4,8616
4,6204
4,4410
4,3021
4,1911
4,1003
3,9603
3,8154
3,6646
3,5868
3,5070
3,4253
3,3413
3,2548
3,1654
14
8,8616
6,5149
5,5639
5,0354
4,6950
4,4558
4,2779
4,1399
4,0297
3,9394
3,8001
3,6557
3,5052
3,4274
3,3476
3,2656
3,1813
3,0942
3,0040
15
8,6831
6,3589
5,4170
4,8932
4,5556
4,3183
4,1415
4,0045
3,8948
3,8049
3,6662
3,5222
3,3719
3,2940
3,2141
3,1319
3,0471
3,2995
2,8684
16
8,5310
6,2262
5,2922
4,7726
4,4374
4,2016
4,0259
3,8896
3,7804
3,6909
3,5527
3,4089
3,2588
3,1808
3,1007
3,0182
2,9330
3,8447
2,7528
17
8,3997
6,1121
5,1850
4,6690
4,3359
4,1015
3,9267
3,7910
3,6822
3,5931
3,4552
3,3117
3,1615
3,0835
3,0032
2,9205
2,8348
2,7459
2,6530
18
8,2854
6,0129
5,0919
4,5790
4,2479
4,0146
3,8406
3,7054
3,5971
3,5082
3,3706
3,2273
3,0771
2,9990
2,9185
2,8354
2,7493
2,6597
2,5660
19
8,1850
5,9259
5,0103
4,5003
4,1708
3,9386
3,7653
3,6305
3,5225
3,4338
3,2965
3,1533
3,0031
2,9249
2,8442
2,7608
2,6742
2,5839
2,4893
20
8,0960
5,8489
4,9382
4,4307
4,1027
3,8714
3,6987
3,5644
3,4567
3,3682
3,2311
3,0880
2,9377
2,8594
2,7785
2,6947
2,6077
2,5168
2,4212
21
8,0166
5,7804
4,8740
4,3688
4,0421
3,8117
3,6396
3,5056
3,3981
3,3098
3,1729
3,0299
2,8796
2,8011
2,7200
2,6359
2,5484
2,4568
2,3603
22
7,9454
5,7190
4,8166
4,3134
3,9880
3,7583
3,5867
3,4530
3,3458
3,2576
3,1209
2,9780
2,8274
2,7488
2,6675
2,5831
2,4951
2,4029
2,3055
23
7,8811
5,6637
4,7649
4,2635
3,9392
3,7102
3,5390
3,4057
3,2986
3,2106
3,0740
2,9311
2,7805
2,7017
2,6202
2,5355
2,4471
2,3542
2,2559
24
7,8229
5,6136
4,7181
4,2184
3,8951
3,6667
3,4959
3,3629
3,2560
3,1681
3,0316
2,8887
2,7380
2,6591
2,5773
2,4923
2,4035
2,3099
2,2107
25
7,7698
5,5680
4,6755
4,1774
3,8550
3,6272
3,4568
3,3239
3,2172
3,1294
2,9931
2,8502
2,6993
2,6203
2,5383
2,4530
2,3637
2,2695
2,1694
26
7,7213
5,5263
4,6366
4,1400
3,8183
3,5911
3,4210
3,2884
3,1818
3,0941
2,9579
2,8150
2,6640
2,5848
2,5026
2,4170
2,3273
2,2325
2,1315
27
7,6767
5,4881
4,6009
4,1056
3,7848
3,5580
3,3882
3,2558
3,1494
3,0618
2,9256
2,7827
2,6316
2,5522
2,4699
2,3840
2,2938
2,1984
2,0965
28
7,6356
5,4529
4,5681
4,0740
3,7539
3,5276
3,3581
3,2259
3,1195
3,0320
2,8959
2,7530
2,6017
2,5223
2,4397
2,3535
2,2629
2,1670
2,0642
29
7,5976
5,4205
4,5378
4,0449
3,7254
3,4995
3,3302
3,1982
3,0920
3,0045
2,8685
2,7256
2,5742
2,4946
2,4118
2,3253
2,2344
2,1378
2,0342
30
7,5625
5,3903
4,5097
4,0179
3,6990
3,4735
3,3045
3,1726
3,0665
2,9791
2,8431
2,7002
2,5487
2,4689
2,3860
2,2992
2,2079
2,1107
2,0062
40
7,3141
5,1785
4,3126
3,8283
3,5138
4,2910
3,1238
2,9930
2,8876
2,8005
2,6648
2,5216
2,3689
2,2880
2,2034
2,1142
2,0194
1,9172
1,8047
60
7,0771
4,9774
4,1259
3,6491
3,3387
3,1187
2,9530
2,8233
2,7185
2,6318
2,4961
2,3523
2,1978
2,1154
2,0285
1,9360
1,8363
1,7263
1,6006
120
6,8510
4,7865
3,9491
3,4796
3,1735
2,9559
2,7918
2,6629
2,5586
2,4721
2,3363
2,1915
2,0346
1,9500
1,8600
1,7628
1,6557
1,5330
1,3805
6,6349
4,6052
3,7816
3,3192
3,0173
2,8020
2,6393
2,5113
2,4073
2,3209
2,1848
2,0385
1,8783
1,7908
1,6964
1,5923
1,4730
1,3246
1,0000