Н.Н. Шереметьевский, акад. АН СССР; Н.Н. Моисеев, акад. АН СССР; К.С. Колесников, член-кор. АН СССР; Г.А. Лукашенко; Л.А. Лейфер, канд. техн. наук; С.В. Беличков; И.В. Львова; С.Д. Золотова; Т.В. Мурачева; Н.Я. Акимычева; Н.М. Туркина; Л.Б. Гройсберг; Р.С. Судаков, д-р техн. наук, проф.; О.И. Тескин, д-р техн. наук, проф.; Н. Алымов; И.В. Павлов, канд. физ.-мат. наук; И.А. Кроль, канд. техн. наук

Зам. начальника главного управления вузами А.А. Малюк

Настоящие методические указания распространяются на технические объекты (далее - объекты), оценка надежности которых проводится по результатам испытаний их составных частей (далее элементов), за исключением объектов, оценка надежности которых по результатам испытаний элементов не регламентирована нормативно-технической документацией (НТД) <*>.

--------------------------------

<*> Определения терминов, применяемых в методических указаниях, даны в справочном приложении 1, перечень обозначений - в справочном приложении 2.

Методические указания устанавливают правила обработки результатов испытаний элементов для определения интервальных оценок показателей надежности объекта.

Методические указания предназначены для специалистов служб надежности промышленных предприятий, проектно-конструкторских и научно-исследовательских организаций, занимающихся испытаниями и оценкой надежности технических объектов.

1.1. Оценка надежности объекта проводится путем определения интервальных оценок показателей надежности (ПН) объекта по результатам испытаний его элементов. Элементы объекта испытываются в процессе системных или автономных испытаний. Результаты системных испытаний элемента используются для оценки надежности объекта только в том случае, если события отказов элемента в процессе системных испытаний не зависят от отказов других элементов объекта. Условия работы элемента в процессе автономных или системных испытаний должны совпадать с условиями его работы в объекте. Испытания элементов объекта проводятся по планам, предусмотренным ГОСТ 27.002-83, кроме планов с восстановлением работоспособного состояния элементов в случае их отказа.

1.2. В качестве ПН объекта используются ПН первой, второй и третьей групп, приведенные в табл. 1. В качестве ПН элементов - ПН первой и второй групп.

1.3. Методы оценки и контроля надежности распространяются на объекты, для которых структурная схема надежности (ССН) представляет собой последовательное, параллельное и всевозможные сочетания последовательного и параллельного соединения элементов, а также на объекты, в том числе и многофункциональные, с монотонной структурой.

Характеристика наиболее типичных ССН приведена в табл. 2.

1.4. Определение интервальной оценки показателей надежности объекта сводится к построению односторонних доверительных границ.

Нижняя доверительная граница строится для ПН объекта первой и третьей групп, верхняя доверительная граница - для ПН объекта второй группы.

1.5. Настоящие методические указания содержат методы определения интервальной оценки ПН объекта по результатам безотказных испытаний элементов и по результатам испытаний элементов с отказами.

В случае безотказных испытаний элементов интервальная оценка ПН объекта определяется в соответствии с разд. 2.

Для определения интервальной оценки надежности объекта по результатам испытаний его элементов с отказами могут быть использованы следующие методы:

метод эквивалентного биномиального плана;

метод подстановки;

комбинированный метод;

метод эквивалентного слабейшего звена.

Общая характеристика методов интервального оценивания ПН объекта приведена в табл. 3. Теоретическое обоснование методов дано в справочном приложении 3, примеры применения методов - в справочном приложении 4.

Примечание. В случае простейшего потока отказов элементов их испытания независимо от выбранного плана могут быть интерпретированы как биномиальные, когда количество условно испытываемых элементов за счет произвольного уменьшения длительности испытаний может быть большим, а число отказов остается фиксированным.

1.6. При выборе метода определения интервальной оценки ПН объекта следует учитывать: цель испытаний, ССН объекта и имеющуюся исходную информацию.

В тех случаях, когда исходная информация не соответствует ситуациям, перечисленным в графе 2 табл. 2, а именно: испытания элементов проводились по различным планам; результаты испытаний по элементам каждого типа представлены в виде точечной оценки ВБР элемента и количества элементов каждого типа, поставленных на испытания; результаты испытаний по элементам каждого типа представлены в виде точечной и интервальной оценок ВБР элемента - необходимо провести ее предварительную обработку.

Методы предварительной обработки исходной информации приведены в обязательном приложении 5.

Предварительная обработка исходной информации позволяет представить ее в виде результатов испытаний элементов по биномиальному плану.

1.7. Для определения интервальной оценки ПН объекта методом подстановки, комбинированным методом и методом эквивалентного слабейшего звена используется функция, связывающая ПН объекта с ПН элементов:

Примечание. Функция, характеризующая связь ВБР объекта с ВБР элементов для различных ССН, приведена в табл. 4.

Примечание. .

Функция связи ВБР объекта с ПН элементов в случае экспоненциального распределения наработки до отказа (наработки на отказ) элементов приведена в рекомендуемом приложении 6.

2.1. Приведенные в разделе расчетные формулы применимы для П-структур любого вида (ССН 01 - 15).

2.2. В качестве исходной информации используются данные по безотказным испытаниям элементов, проводимым в течение одного и того же времени (количество испытываемых элементов по каждому типу элементов).

2.3. Нижние доверительные границы ВБР объекта, соответствующие доверительной вероятности , определяются в соответствии с табл. 5.

Примечания:

1. .

2. При решении уравнений для ССН 04, 05, 07, 08, 10, 11 рекомендуется использовать стандартные программы RTMI, RTNI из пакета научных программ на языке ФОРТРАН-IV для машин типа ЕС. При отсутствии стандартных программ может быть использован метод половинного деления. Блок-схема метода, соответствующая программа и ее описание приведены в справочном приложении 7. Для ССН 04, 05, 10, 11 может быть использована приближенная формула для вычисления , приведенная в справочном приложении 7. Формула справедлива также при наличии отказов.

2.4. Интервальные оценки других показателей надежности объекта определяются на основе зависимостей оцениваемых ПН объекта от ВБР объекта путем подстановки в эту зависимость нижней доверительной границы ВБР. Зависимость определяется в соответствии с функцией распределения наработки до отказа (наработки на отказ) объекта. Примеры зависимостей для экспоненциального распределения наработки до отказа (наработки на отказ) объекта приведены в приложении 8.

Примечание. Изложенные в настоящем разделе методы являются дополнением к методам, приведенным в разд. 3 - 7, и позволяют в случае безотказных испытаний получить наилучшую интервальную оценку для ПН объекта.

3.1. Метод эквивалентного биномиального плана применяется для последовательных ССН (01, 02).

3.2. В качестве исходной информации для определения интервальной оценки ПН объекта используются результаты испытаний элементов, проводимых по биномиальному плану.

Примечание. В случае экспоненциального распределения наработок до отказа (наработок на отказ) элементов метод эквивалентного биномиального плана применяется для следующих планов испытаний элементов: [NUT], [NUr], [NRT], [NRr]. Вариант метода эквивалентного биномиального плана для данной ситуации приведен в рекомендуемом приложении 9.

3.3. По результатам испытаний элементов определяются величины N и D:

где n_i - количество элементов i-го типа, входящих в состав объекта;

m - количество типов элементов, входящих в состав объекта;

d_i - количество отказов элементов i-го типа.

3.4. Нижняя доверительная граница , соответствующая доверительной вероятности , определяется по табл. 1 - 3 справочного приложения 11 для n = N, q = D/N с интерполяцией при необходимости или по приближенной формуле при ;

Значения определяются по табл. 4 справочного приложения 11 для , L = 2D + 2 с интерполяцией при необходимости.

3.5. Интервальная оценка других ПН объекта определяется в соответствии с п. 2.4 на основании нижней доверительной границы ВБР.

4.1. Метод подстановки применяется для ССН 01 - 16 и позволяет определять интервальные оценки ПН объекта с доверительной вероятностью .

4.2. В качестве исходной информации при построении интервальной оценки ПН объекта используются интервальные оценки ПН элементов, соответствующие доверительной вероятности и распределениям с неубывающей интенсивностью отказов.

4.3. Нижняя или верхняя границы односторонних доверительных интервалов ПН объекта, соответствующие доверительной вероятности , определяются по следующим формулам:

Здесь , - нижняя и верхняя границы одностороннего доверительного интервала показателя надежности i-го элемента объекта, соответствующие доверительной вероятности . Значения определяются в соответствии с ГОСТ 27.503-81 (рекомендуемое приложение 2).

5.1. Комбинированный метод основан на совместном использовании метода эквивалентного биномиального плана и метода подстановки.

5.2. Комбинированный метод применяется для ССН 01 - 16 и позволяет определять интервальные оценки ПН объекта с доверительной вероятностью .

5.3. В качестве исходной информации для построения интервальной оценки ПН объекта используются результаты испытаний элементов по биномиальному плану.

Примечание. В случае экспоненциального распределения наработок до отказа (наработка на отказ) элементов комбинированный метод применяется для следующих планов испытаний элементов: [NUT], [NUr], [NRT], [NRr].

Вариант комбинированного метода для данной ситуации приведен в рекомендуемом приложении 10.

5.4. Применение комбинированного метода предусматривает формирование структурных элементов исследуемого объекта. Структурный элемент представляет собой группу последовательно соединенных элементов объекта. ПН объекта в этом случае представляется как функция ПН структурных элементов:

(m - количество структурных элементов в объекте).

Примечание. В тех случаях, когда ССН объекта не содержит групп последовательно соединенных элементов, комбинированный метод совпадает с методом подстановки. Для объектов, ССН которых представляет собой последовательное соединение элементов (01, 02), комбинированный метод совпадает с методом эквивалентного биномиального плана.

5.5. Доверительная граница ПН объекта (или ) определяется на основе доверительных границ ПН структурных элементов (или ) по формуле:

Здесь , - нижняя, верхняя границы одностороннего доверительного интервала ПН i-го структурного элемента. Значения определяются с помощью метода эквивалентного биномиального плана в соответствии с пп. 3.3 - 3.5.

6.1. Метод эквивалентного слабейшего звена применяется для ССН 01 - 14.

6.2. В качестве исходной информации при определении интервальной оценки ПН объекта используются результаты испытаний элементов, проводимых по биномиальному плану, а в случае экспоненциального распределения наработок до отказа (наработок на отказ) элементов - по планам [NUT], [NUr], [NRT], [NRr].

6.3. Определение нижней доверительной границы ВБР объекта .

6.3.1. Для определения интервальной оценки ВБР объекта используется функция связи ВБР объекта с ВБР элементов

Для ССН 04, 05, 07, 08, 11 необходимо пользоваться функцией связи, приведенной в табл. 6; для ССН 01 - 03, 06, 09, 10, 12 - 14 необходимо пользоваться функцией связи, приведенной в табл. 4.

6.3.2. В соответствии с результатами испытаний элементов и ССН определяется точечная оценка ВБР объекта путем подстановки точечных оценок ВБР элементов за время в функцию связи:

Точечные оценки ВБР элементов определяются в соответствии с ГОСТ 27.503-81.

6.3.3. Для элементов каждого i-го типа определяется эквивалентная точечная оценка ВБР . Значение выбирается таким образом, чтобы при

точечная оценка ВБР объекта совпадала с полученным значением ;

6.3.4. Для каждого значения определяется эквивалентное число отказов D_i. Значение D_i выбирается таким образом, чтобы точечная оценка ВБР элемента для числа отказов D_i при сохранении других данных об испытаниях элемента (количества испытываемых элементов, суммарной наработки элементов) равнялось . Для биномиального плана испытаний элементов D_i определяется по следующей формуле:

6.3.5. В соответствии с полученным значением D_i при сохранении других данных об испытаниях элементов, для элементов каждого типа определяется эквивалентная нижняя доверительная граница ВБР Значение определяется в соответствии с ГОСТ 27.503-81 (рекомендуемое приложение 2).

Значение может также определяться и непосредственно с учетом реально проводимых планов испытаний. Для биномиального плана испытаний можно найти по известным значениям и N_i по табл. 1, 2, 3 приложения 11 или по формуле п. 3.4 (для N_i > 50).

6.3.6. Нижняя доверительная граница ВБР объекта , соответствующая доверительной вероятности , определяется по формуле

где

6.4. Интервальная оценка других ПН объекта определяется в соответствии с п. 2.4.

1. В разд. 2 методических указаний изложены методы определения наилучшей односторонней интервальной оценки ПН объекта по результатам безотказных испытаний элементов. В основу методов положена процедура определения наилучшей нижней доверительной границы ВБР объекта по результатам безотказных испытаний элементов [1] - [3], [7]. Эта процедура распространена на другие ПН объекта в случае, когда известна связь ПН объекта с ВБР объекта. Функция связи может быть легко найдена для однопараметрических законов распределения наработки до отказа (на отказ).

2. Изложенный в разд. 3 метод эквивалентного биномиального плана следует результатам работы [4] и [5] и имеет несколько распространенных названий: "Метод Ллойда-Липова", "Метод Линдстрома-Мадена", "Эвристический".

В основе метода лежит принцип определения эквивалентного числа отказов для биномиального плана испытаний при минимальном количестве испытываемых элементов, входящих в ССН объекта. Теоретическое обоснование метода проведено в работе [5]. Интерпретация метода для других планов испытаний в случае простейшего потока отказов выполнена в работе [6].

3. В разд. 4 изложен метод подстановки [7]. Метод применим при следующих предположениях:

функция монотонна по каждому из параметров ;

функция квазивыпукла (или квазивогнута);

доверительные границы ПН элементов определяются через квантили стареющих распределений.

Исследование функции для рассматриваемых ССН и используемых на практике методов определения интервальных оценок ПН элементов показывают, что упомянутые условия выполняются. Поэтому при изложении метода эти требования не приведены.

4. Комбинированный метод [6], [8], приведенный в разд. 5, объединяет метод эквивалентного биномиального плана и метод подстановки. Методы применяются последовательно. На первом этапе в ССН объекта выделяются структурные элементы (группы последовательно соединенных элементов), к которым применяется метод эквивалентного биномиального плана. На втором этапе для объекта, состоящего из структурных элементов, применяется метод подстановки.

5. Научной основой метода эквивалентного слабейшего звена является метод доверительных множеств Беляева-Большева [9]. Согласно методу эквивалентного слабейшего звена для последовательно-параллельно-последовательных ССН равна минимуму нижних доверительных границ для ВБР однотипных подсистем, если последние определены в предположении равенства точечных оценок ВБР однотипных подсистем оценке ВБР объекта при реальных объемах испытаний и реальных структурах подсистем. Метод изложен в соответствии с работами [10] - [12].

Метод обобщает случай безотказных испытаний и "Метод Ллойда-Липова". Обоснование метода проведено в двух случаях: в случае высокой надежности и ограниченных объемов испытаний (эквивалентное число отказов подсистем не слишком превосходит число резервных каналов); в специальном асимптотическом случае, когда оценка ПН имеет нормальное распределение (число последовательных подсистем велико, объем испытаний не слишком мал).

6. Приведенные в приложении числовые таблицы для определения нижних доверительных границ и квантилей построены на основе табл. II из [13] и табл. 4 из [14].

1. Определить нижнюю доверительную границу ВБР объекта с последовательной ССН, состоящей из пяти элементов, за время для . Испытания элементов проводились по биномиальному плану. Время испытаний 5000 ч.

Результаты испытаний элементов представлены в табл. 1.

Для построения интервальной оценки допускается использовать метод эквивалентного биномиального плана.

В соответствии с п. 3.3.

В соответствии с п. 3.5, учитывая, что , находим :

2. Определить нижнюю доверительную границу ВБР объекта за время , если его ССН представляет собой параллельное соединение трех различных элементов. Известны интервальные оценки интенсивности отказов элементов, соответствующие доверительной вероятности 0,9:

Наработки до отказа элементов подчиняются экспоненциальному распределению.

Для определения интервальной оценки ВБР может быть использован метод подстановки. В соответствии с п. 4.3 и таблицей справочного приложения 6 нижняя доверительная граница ВБР объекта определяется по формуле

Полученная оценка соответствует доверительной вероятности .

3. Определить комбинированным методом нижнюю доверительную границу для вероятности безотказной работы объекта с ССН параллельно-последовательного типа (ССН 10), представленной на рисунке.

Индексы элементов соответствуют их типам. Испытания проводились по биномиальному плану в течение времени . Результаты испытаний приведены в табл. 2.

Формирование структурных элементов A₁, A₂ сводится к объединению элементов, составляющих каждую из параллельных подсистем. Зависимость показателя надежности системы от ВБР структурных элементов и в соответствии с табл. 4 для ССН 04 имеет вид

Условия применимости комбинированного метода выполнены. В соответствии с п. 5.5 определяются нижние доверительные границы ВБР структурных элементов A₁, A₂ методом эквивалентного биномиального плана по правилам пп. 3.3, 3.4. Для первого структурного элемента

Для второго структурного элемента

Интервальная оценка ВБР объекта определяется методом подстановки по формуле п. 5.5.

Таким образом, и соответствует доверительной вероятности .

4. Определить нижнюю доверительную границу ВБР источника питания за время . Структурная схема надежности [NUT] источника питания приведена на рисунке и соответствует ССН 06 с m = 4, n₁ = n₂ = n₃ = n₄ = 2.

Наработка до отказа каждого элемента подчиняется экспоненциальному распределению. Испытания элементов проводились по плану [NUT] объекта оценивается методом эквивалентного слабейшего звена. Суммарная наработка и количество отказов элементов источника питания в процессе испытаний приведены в табл. 3.

В соответствии с п. 6.3.1 и табл. 4 определяется точечная оценка ВБР источника питания

В соответствии с ГОСТ 27.503-81 находим:

Таким образом, .

В соответствии с п. 6.3.3 значения , определяются из уравнений:

Очевидно, что

Эквивалентное число отказов D_i в соответствии с п. 6.3.4 и ГОСТ 27.503-81 определяется из уравнений:

Таким образом,

Согласно п. 6.3.5 нижняя доверительная граница ВБР каждого элемента определяется в соответствии с рекомендуемым приложением 2 ГОСТ 27.503-81 для доверительной вероятности , плана испытаний [NUT], суммарной наработки элемента S_i и числа отказов D_i . Таким образом:

В соответствии с п. 6.3.6 нижняя доверительная граница ВБР источника питания, соответствующая доверительной вероятности , определяется по формуле

где

Таким образом, .

5. Определить нижнюю доверительную границу ВБР объекта, ССН которого представляет собой параллельное соединение трех разнотипных элементов (ССН 03), за время .

Наработки до отказа элемента первого типа подчиняются нормальному распределению. Испытания элемента проводились по плану [NUN], выборочное среднее и выборочная дисперсия шести наблюдений составили 321 ч и 2767,7 ч². Наработки до отказа второго элемента подчиняются экспоненциальному распределению. Испытания проводились по плану [NUT]. Суммарная наработка испытываемых элементов составила 8000 ч, за время испытаний обнаружен один отказ. Элемент третьего типа испытывался по биномиальному плану в течение времени . Испытывалось 30 элементов, отказы не обнаружены.

В соответствии с обязательным приложением 5 имеющиеся исходные данные могут быть представлены как результаты испытаний, проводимых по биномиальному плану.

В соответствии с п. 3.1 обязательного приложения 5 и ГОСТ 27.503-81 определяются точечные оценки и нижние доверительные границы ВБР элементов за с доверительной вероятностью :

Используя табл. 2 справочного приложения 11 согласно пп. 3.2, 3.3 обязательного приложения 5, находим:

Для определения нижней доверительной границы ВБР используется метод эквивалентного слабейшего звена.

В соответствии с п. 6.3.1 и табл. 6 определяется точечная оценка ВБР объекта за :

Значения определяются согласно п. 6.3.3 из уравнения

Таким образом

Эквивалентные числа отказов D₁, D₂, D₃ определяются по формуле п. 6.3.4:

В соответствии с пп. 6.3.5 по табл. 2 справочного приложения 11 или по формулам п. 3.4 ; ; .

Нижняя доверительная граница ВБР объекта за определяется в соответствии с п. 6.3.6:

где

1. Предварительная обработка исходной информации проводится в тех случаях, когда исходная информация представлена в одном из следующих трех видов:

Вид А - результаты испытаний элементов, проводимых по различным планам;

Вид Б - точечные оценки ВБР элементов и количество испытываемых элементов каждого типа (, N_i);

Вид В - точечные и интервальные оценки ВБР элементов каждого типа (, ).

2. Предварительная обработка исходной информации позволяет представить ее в виде результатов испытаний элементов по биномиальному плану и сводится к определению величин N_i, d_i для элементов каждого типа.

3. Предварительная обработка исходной информации вида А.

3.1. По результатам испытаний элементов каждого типа в соответствии с ГОСТ 27.503-81 определяются точечная и интервальная оценки ВБР элемента

3.2. Для элементов каждого типа на основе полученных значений , и доверительной вероятности, соответствующей интервальной оценке, определяется N_i по табл. 1 - 3 справочного приложения 11. В качестве N_i выбирается такое значение n, при котором для приведенное в таблице значение нижней доверительной границы совпадает со значением с интерполяцией при необходимости.

3.3 Для элементов каждого типа значение d_i определяется по формуле

4. Предварительная обработка исходной информации вида Б проводится в соответствии с п. 3.3 настоящего приложения.

5. Предварительная обработка исходной информации вида В проводится в соответствии с пп. 3.2, 3.3 настоящего приложения.

Примечания:

1. .

2. Принятые в графе 2 таблицы обозначения t_i, t_ij в зависимости от используемого ПН элементов имеют смысл t_срi, t_срij или t_оi, t_оij.

1. Метод половинного деления

Метод половинного деления используется для поиска корней трансцендентного уравнения вида F(x) = 0 в интервале (a, b).

Блок-схема программы метода половинного деления приведена на рисунке

В соответствии с блок-схемой программы метода половинного деления на языке ФОРТРАН-IV разработана программа POLD. Обращение к программе осуществляется оператором:

CALL POLD (A, B, D, S, FCT, IEP),

A - значение левой границы интервала, содержащего корень;

B - значение правой границы интервала, содержащего корень;

D - вычисленный корень уравнения;

S - погрешность вычисления корня;

FCT - имя используемой внешней программы функции. Параметр FCT должен быть описан оператором EXTERNAL;

IEP - идентификатор ошибки

Программа POLD:

2. Приближенный метод определения .

При определении нижней доверительной границы ВБР объекта по табл. 5 для ССН 04, 05, 10, 11 может быть использована формула, дающая приближение снизу:

где k - число параллельно соединенных элементов (подсистем);

- нижняя доверительная граница для ВБР последовательной системы, составленной из всех элементов объекта.

Величина определяется в соответствии с разд. 3.

1. Метод применяется для последовательных ССН (01, 02), элементы которых испытываются по следующим планам:

[NUT], [NUr], [NRT], [NRr].

2. В качестве исходной информации для определения интервальной оценки ПН объекта используются величины:

S₁, ..., S_m - суммарные наработки элементов каждого типа за время испытаний;

d₁, ..., d_m - количество отказов элементов каждого типа за время испытаний.

3. Интервальные оценки ПН объекта, соответствующие доверительной вероятности , определяются по следующим формулам:

Значения определяются по табл. 4 справочного приложения 11 для , L = 2D + 2 с интерполяцией при нецелых значениях L.

1. Метод применяется для ССН 01 - 16, элементы которых испытываются по следующий планам:

[NUT], [NUr], [NRT], [NRr].

Метод позволяет определить интервальные оценки ПН объекта с доверительной вероятностью .

2. В качестве исходной информации для определения интервальной оценки ПН объекта используются суммарные наработки и количество отказов элементов каждого типа за время испытаний.

3. Применение комбинированного метода предусматривает формирование структурных элементов исследуемого объекта. Структурный элемент представляет собой группу последовательно соединенных элементов объекта. ПН объекта в этом случае представляется как функция интенсивностей отказов (параметров потока отказов) структурных элементов

4. По результатам испытаний элементов определяют верхние доверительные границы интенсивностей отказов (параметров потока отказов) структурных элементов:

где s_ij - суммарная наработка элементов j-го типа i-го структурного элемента за время испытаний;

d_ij - количество отказов элементов j-го типа i-го структурного элемента за время испытаний;

n_ij - количество элементов j-го типа в i-м структурном элементе;

k_i - количество различных типов элементов в i-м структурном элементе.

Значения определяются по табл. 4 справочного приложения 11 для , L = 2D + 2 с интерполяцией при нецелых L.

5. Интервальная оценка ПН объекта определяется на основе зависимости :