1 ПОДГОТОВЛЕН Открытым акционерным обществом "Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем" (АО "НИЦ КД") на основе собственного перевода на русский язык англоязычной версии стандарта, указанного в пункте 4

2 ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 "Применение статистических методов"

3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 12 сентября 2017 г. N 1057-ст

4 Настоящий стандарт является модифицированным по отношению к международному стандарту ИСО 16269-6:2014 "Статистическое представление данных. Часть 6. Определение статистических толерантных интервалов" (ISO 16269-6:2014 "Statistical interpretation of data - Part 6: Determination of statistical tolerance intervals", MOD) путем внесения отклонений, объяснение которых приведено во введении к настоящему стандарту.

Международный стандарт разработан Техническим комитетом ISO/TC 69.

Наименование настоящего стандарта изменено относительно наименования указанного международного стандарта для приведения в соответствие с ГОСТ Р 1.5-2012 (пункт 3.5).

Сведения о соответствии ссылочных национальных стандартов международным стандартам, использованным в качестве ссылочных в примененном международном стандарте, приведены в дополнительном приложении ДА

5 ВЗАМЕН ГОСТ Р ИСО 16269-6-2005

Статистический толерантный интервал (толерантный интервал) - интервал, определяемый по выборке, относительно которого можно утверждать с уровнем доверия , например p = 0,95, что он содержит не менее указанной доли p совокупности. Границы статистического толерантного интервала называют статистическими толерантными границами. Уровень доверия - это вероятность того, что построенный установленным способом толерантный интервал содержит не менее заданной доли совокупности p. И наоборот, вероятность того, что толерантный интервал не содержит долю совокупности p равна . В настоящем стандарте приведены методы определения односторонних (имеющих только верхнюю или нижнюю границу) и двусторонних (имеющих верхнюю и нижнюю границы) толерантных интервалов.

Статистический толерантный интервал зависит от уровня доверия и заданной доли совокупности p. Уровень доверия статистического толерантного интервала аналогичен уровню доверия интервала для параметра распределения. Утверждение относительно доверительного интервала состоит в том, что доверительный интервал накрывает истинное значение параметра с вероятностью в длинной последовательности повторений процедуры по данным случайных выборок большого объема в идентичных условиях. Аналогичное утверждение относительно статистического толерантного интервала состоит в том, что толерантный интервал накрывает долю совокупности не менее p с вероятностью в длинной последовательности повторений процедуры по данным случайной выборки в идентичных условиях. Если рассматривать установленную долю совокупности p как оцениваемый параметр, понятия доверительного и толерантного интервала совпадут.

Границы статистических толерантных интервалов являются функциями наблюдений, т.е. статистиками, и принимают различные значения для различных выборок. Для правомерности применения методов, приведенных в настоящем стандарте, необходимо, чтобы наблюдения в выборке были независимыми.

В настоящем стандарте установлены методы определения толерантных интервалов двух типов: параметрические и непараметрические. Параметрический метод основан на предположении о том, что исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение. Уровень доверия для толерантного интервала, накрывающего долю совокупности не менее p, составляет только в том случае, если справедливо предположение о нормальном распределении данных. Для определения толерантного интервала по выборке из нормального распределения используют одну из форм A, B или C, представленных в приложении B.

Параметрические методы для распределений, отличных от нормального, в настоящем стандарте не рассмотрены. Если распределение не является нормальным, могут быть применены непараметрические методы. При определении толерантного интервала для любого непрерывного распределения используют форму D, представленную в приложении B.

Рассматриваемые в настоящем стандарте толерантные границы могут быть использованы при статистическом управлении процессом путем сравнения показателей процесса с одной или двумя установленными границами.

Выше верхней границы требований U доля несоответствующих единиц продукции составляет p_U, а ниже нижней границы требований L доля несоответствующих единиц продукции составляет p_L. Сумму p_U + p_L = p_T называют общей долей несоответствующих единиц продукции. Между установленными границами U и L находится доля совокупности 1 - p_T.

Идеи, связанные со статистическими толерантными интервалами, имеют более широкое распространение, чем принято считать, например эти интервалы применяют в приемочном контроле по количественному признаку и в статистическом управлении процессами.

В приемочном контроле по количественному признаку границы U и/или L заданы, значения p_U, p_L или p_T устанавливают в соответствии с предельно допустимым уровнем несоответствий AQL; партию принимают, если не превышен AQL для заданного значения .

В статистическом управлении процессом границы U и L заданы, а значения p_U, p_L и p_T рассчитывают, если распределение известно, или (в противном случае) оценивают. Большое количество примеров, связанных с применением толерантных интервалов, приведено в [1].

Для толерантных интервалов, рассматриваемых в настоящем стандарте, уровень доверия толерантного интервала и доля распределения, накрываемая интервалом, установлены заранее, а границы интервала оценивают. Эти границы можно сравнивать с U и L. Следовательно, приемлемость заданных значений U и L можно оценить на основе сравнения с фактическими свойствами процесса. Односторонние толерантные интервалы используют только в том случае, если задана единственная граница U или L. Двусторонние интервалы используют, если заданы верхняя и нижняя границы.

Терминология в отношении рассматриваемых интервалов очень запутанная, поскольку границы требований U и L также называют границами поля допуска.

В приложении A приведены значения коэффициентов для случая, когда один из параметров нормального распределения неизвестен.

В настоящем стандарте рассмотрены также толерантные интервалы для m совокупностей, имеющих одинаковое стандартное отклонение, при этом из каждой совокупности отбирают выборку объема n.

Из раздела 2 исключены стандарты, которые нецелесообразно применять в соответствии с требованиями национальной стандартизации.

В настоящем стандарте установлены процедуры определения границ толерантных интервалов, которые накрывают долю совокупности не менее заданной. Приведенные методы позволяют определять как односторонние интервалы, имеющие только верхнюю или только нижнюю границу, так и двусторонние интервалы, имеющие и верхнюю и нижнюю границы. В настоящем стандарте установлены параметрический метод определения толерантных интервалов для нормального распределения и непараметрический метод. Непараметрический метод определения толерантных интервалов не требует знания вида функции распределения, но применим лишь в тех случаях, когда известно, что функция распределения совокупности непрерывна. Также представлены процедуры для определения двустороннего толерантного интервала для более чем одной выборки из нормального распределения, если распределения выборок имеют одну и ту же неизвестную дисперсию.

В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие стандарты:

Примечание - При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет или по ежегодному информационному указателю "Национальные стандарты", который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по выпускам ежемесячного информационного указателя "Национальные стандарты" за текущий год. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана недатированная ссылка, то рекомендуется использовать действующую версию этого стандарта с учетом всех внесенных в данную версию изменений. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, то рекомендуется использовать версию этого стандарта с указанным выше годом утверждения (принятия). Если после утверждения настоящего стандарта в ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, внесено изменение, затрагивающее положение, на которое дана ссылка, то это положение рекомендуется применять без учета данного изменения. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, рекомендуется применять в части, не затрагивающей эту ссылку.

В настоящем стандарте применены следующие термины с соответствующими определениями:

3.1.1

3.1.2 толерантная граница (statistical tolerance limit): Граница толерантного интервала.

Примечание - Статистический толерантный интервал может быть:

- односторонним, если он имеет или верхнюю, или нижнюю толерантную границу;

- двусторонним, если он имеет обе толерантные границы.

3.1.3 доля накрытия (coverage): Доля совокупности, накрываемая толерантным интервалом.

Примечание - Данное понятие не следует путать с понятием "коэффициента охвата", используемым в Руководстве по выражению неопределенности измерений (GUM).

3.1.4 нормальная совокупность (normal population): Совокупность, подчиняющаяся нормальному закону распределения.

В настоящем стандарте применены следующие обозначения:

- коэффициент, используемый для определения границ одностороннего толерантного интервала x_L или x_U, если значения и неизвестны;

- коэффициент, используемый для определения двустороннего толерантного интервала x_L и x_U, если значение известно, а значение неизвестно;

- коэффициент, используемый для определения одностороннего толерантного интервала x_L или x_U, если значение неизвестно, а значение известно;

- коэффициент, используемый для определения двустороннего толерантного интервала x_L или x_U, если значения и неизвестны;

- коэффициент, используемый для определения одностороннего толерантного интервала x_L или x_U, если значения и неизвестны. Индекс C выбран в соответствии с обозначением приложения, в котором приведены значения коэффициента k;

- коэффициент, используемый для определения границ m двусторонних толерантных интервалов x_Li или x_Ui (i = 1, 2, ..., m; m >= 2), если значения средних и одинакового для всех совокупностей значения неизвестны. Индекс D выбран в соответствии с обозначением приложения, в котором приведены значения коэффициента k;

n - количество наблюдений в выборке;

p - минимальная доля совокупности, накрываемая толерантным интервалом с заданным уровнем доверия;

u_p - квантиль стандартного нормального распределения уровня p;

x_j - j-е наблюдаемое значение;

x_ij - j-е наблюдаемое значение (j = 1, 2, ..., n) i-й выборки (i = 1, 2, ..., m);

x_max - максимальное наблюдаемое значение: x_max = max {x₁, x₂, ..., x_n};

x_min - минимальное наблюдаемое значение: x_min = min {x₁, x₂, ..., x_n};

x_L - нижняя граница толерантного интервала;

x_U - верхняя граница толерантного интервала;

- выборочное среднее:

;

- выборочное среднее i-й выборки (i = 1, 2, ..., m),

;

s - выборочное стандартное отклонение,

s_i - выборочное стандартное отклонение i-й выборки (i = 1, 2, ..., m),

;

s_p - объединенное выборочное стандартное отклонение

;

- уровень доверия, с которым толерантный интервал накрывает долю совокупности не менее заданного значения p;

- среднее совокупности;

- стандартное отклонение совокупности.

Если значения среднего и дисперсии нормальной совокупности известны, распределение исследуемой характеристики полностью определено. В этом случае можно определить интервал, содержащий точно долю p совокупности:

a) односторонний интервал с нижней границей ;

b) односторонний интервал с верхней границей ;

c) двусторонний интервал с нижней границей и верхней границей .

Примечание - Эти утверждения являются истинными, они соответствуют уровню доверия 100%.

Если один или оба параметра нормального распределения неизвестны, но получены их выборочные оценки, толерантные интервалы определяют в соответствии с 4.1. Например, в предположении, что среднее неизвестно, но известна дисперсия, значение k может быть установлено так, что интервал между следующими границами

и 

накрывает долю совокупности не менее p с уровнем доверия . Следует отметить два важных отличия от ситуации, описанной в 4.1, когда известны и среднее, и дисперсия. Во-первых, при использовании оценок одного или двух параметров интервал накрывает долю совокупности не менее p, а не точно долю совокупности p. Во-вторых, при использовании оценок одного или двух параметров это утверждение справедливо только с уровнем доверия . Коэффициент k в приведенных выше выражениях зависит от параметров нормального распределения, доли совокупности p, уровня доверия , а также от объема выборки. Точные значения коэффициентов k приведены в приложении A для того случая, когда один из параметров нормального распределения неизвестен, а другой известен.

Если оба параметра нормального распределения неизвестны, следует применять формы A и B, приведенные в приложении B. Форму A применяют для односторонних интервалов, а форму B - для двусторонних интервалов. Форму A следует использовать либо вместе с таблицами значений коэффициента k, приведенными в приложении C, либо находить значение k по точной формуле A.5, приведенной в приложении A. Форму B следует использовать вместе с значениями коэффициента k (1-я колонка), приведенными в таблицах D.1 - D.12 приложения D. Детали определения значений коэффициентов k в соответствии с таблицами D.1 - D.12 приложения D приведены в приложении F.

В том случае, когда и средние, и дисперсии нормальных совокупностей неизвестны, а значение дисперсии во всех совокупностях одинаково, следует применять форму C, приведенную в приложении B.

Если исследуемой характеристикой является переменная, принадлежащая совокупности с функцией распределения неизвестного вида, то статистический толерантный интервал может быть определен по порядковым статистикам x_(i), полученным по выборке из n независимых случайных наблюдений. Процедура, приведенная в форме D, используемая совместно с данными, приведенными в таблицах E.1 и E.2 приложения E, обеспечивает определение необходимого объема выборки на основе порядковых статистик и уровня доверия.

Примечание 1 - Статистические толерантные интервалы, которые не зависят от вида функции распределения совокупности, называются непараметрическими толерантными интервалами.

Примечание 2 - В настоящем стандарте не рассмотрены методы для распределений известного вида, отличных от нормального. Однако к непрерывному распределению могут быть применены непараметрические методы. Использование методов, приведенных в литературных источниках (см. библиографию), может быть полезно при определении толерантных интервалов для распределений других видов.

Формы A и B, приведенные в приложении B, иллюстрируют примеры 1 и 2, содержащие 12 результатов измерений прочности хлопковой нити. Количество наблюдений в этом примере n = 12. Результаты измерений и вычислений в примерах выражены в сотых долях ньютона (см. таблицу 1).

Результаты измерений получены из партии, содержащей 12000 бобин, упакованных в 120 коробок по 100 шт. в каждой. Из партии случайным образом отобрано 12 коробок, из каждой коробки случайным образом отобрана одна катушка. Образцы длиной 50 см вырезаны из пряжи катушек приблизительно на расстоянии 5 м от свободного конца. Испытания на разрыв проводили на центральных частях этих образцов. Имеющаяся предварительная информация позволяет предположить, что усилия разрыва пряжи, измеренные в этих условиях, имеют нормальное распределение. Приведенные данные не противоречат предположению о нормальном распределении наблюдений.

Использование приведенной в ГОСТ Р ИСО 16269-4 диаграммы "ящик с усами" в качестве графического теста на наличие выбросов позволяет сделать вывод о том, что с уровнем значимости среди полученных данных выбросы отсутствуют.

Данные таблицы 1 дают следующие результаты:

- объем выборки: n = 12;

- выборочное среднее: ;

- выборочное стандартное отклонение:

Формальное представление вычислений дано в примере 1 в соответствии с формой A приложения B (односторонний интервал, неизвестная дисперсия и неизвестное среднее).

Необходимо найти такую границу x_L, относительно которой можно утверждать с уровнем доверия , что не менее 0,95 (95%) наблюдений в партии имеют значения не менее x_L, если измерения выполнены в одинаковых условиях. Ниже приведено детальное представление результатов.

Необходимо определить такие границы x_L и x_U, для которых можно утверждать с уровнем доверия , что интервал x_L, x_U накрывает долю совокупности не менее p = 0,90 (90%).

В соответствии с данными, приведенными в таблице D.4 приложения D для m = 1 и n = 12,

.

Следовательно

;

.

Необходимо определить процент сухого остатка в каждой из четырех партий жидких пивных дрожжей. Партии получены от разных поставщиков. Процентное содержание сухого остатка в каждой из четырех партий имеет нормальное распределение с неизвестными средними , i = 1, 2, 3, 4. В соответствии с предыдущим опытом сделано предположение о равенстве дисперсий совокупностей, соответствующих всем партиям. Последующие исследования не опровергли это предположение. Таким образом можно считать, что все четыре совокупности имеют дисперсию, равную . Необходимо определить двусторонние толерантные интервалы для процентного содержания сухого остатка в каждой партии.

Данные случайных выборок объема n (см. [2]) приведены в таблице 2.

x_ij - j-e значение из i-й выборки.

В соответствии с этими данными получены следующие результаты:

- объем выборки n = 10;

- количество выборок m = 4;

- выборочные средние для каждой из четырех партий:

.

Выборочные дисперсии для каждой из четырех партий

Объединенное выборочное стандартное отклонение:

.

Число степеней свободы объединенного выборочного стандартного отклонения:

f = m(n - 1) = nm - m = 36.

Необходимо определить нижние границы односторонних толерантных интервалов для четырех поставщиков, т.е. границы интервала, накрывающего долю совокупности не менее p, с уровнем доверия для каждого поставщика. Здесь нельзя получить ответ с помощью таблиц C.1 - C.4 приложения C, но границы интервалов определяют так же, как в примере 1, а именно в виде разности оценки среднего и произведения коэффициента k и оценки стандартного отклонения

,

где константа зависит от объема i-й выборки и числа степеней свободы объединенного выборочного стандартного отклонения. Выражения для коэффициентов приведены в A.5, A.14 приложения A;

,

где - квантиль уровня нецентрального t-распределения с параметром нецентральности и f-степенями свободы. Работать с нецентральным t-распределением и определять его квантили позволяет программное обеспечение по статистической обработке данных. Пусть p = 0,95 и . В данном случае n_i = 10 и f = m(n - 1) = nm - m = 36, таким образом

,

где 1,6449 - квантиль стандартного нормального распределения уровня 0,95 u_0,95.

Значения, приведенные в таблицах C.1 - C.4 приложения C, соответствуют специальному случаю, когда число степеней свободы на единицу меньше объема выборки, т.е. равно числу степеней свободы выборочного стандартного отклонения, определенного по единственной выборке объема n, следовательно, число степеней свободы оценки дисперсии равно n - 1.

.

Таким образом для всех четырех партий определены нижние границы односторонних толерантных интервалов.

1-я партия: .

2-я партия: .

3-я партия: .

4-я партия: .

Если стоит задача определения верхней толерантной границы, то для этого используют те же величины, меняя лишь знак "минус" на знак "плюс" перед 2-м членом правой части равенства.

Случай 1. Вычисление для всех партий m = 4

В соответствии с данными, приведенными в таблице D.5 приложения D для n = 10, m = 4, f = m(n - 1) = 4(10 - 1) = 36, p = 0,95 и , значение коэффициента k для двустороннего толерантного интервала при неизвестной общей дисперсии составляет

.

Следовательно, двусторонние толерантные интервалы для каждой партии вычисляют следующим образом:

1-я партия:

;

;

2-я партия:

;

;

3-я партия:

;

;

4-я партия:

;

.

Примечание - Для сохранения установленного уровня доверия значения нижних границ округлены вниз, а значения верхних границ - вверх (с точностью до 2-го знака после запятой).

Случай 2. Вычисления для каждой партии m = 1

Вычисление толерантных границ можно проводить для каждой отдельной партии в соответствии с таблицей D.4 приложения D для n = 10, m = 1, f = m(n - 1) = 4(10 - 1) = 9, p = 0,95 и и неизвестного , значение коэффициента k для двустороннего толерантного интервала равно

k_D(10; 1; 0,95; 0,95) = 3,3935.

Выборочные стандартные отклонения для четырех партий имеет вид:

Следовательно, двусторонние толерантные границы имеют следующий вид:

1-я партия:

2-я партия:

3-я партия:

4-я партия:

Сравнение результатов двух случаев показывает, что толерантные интервалы для 2, 3 и 4-й партий значительно уже в 1-м случае в отличие от 2-го. Но толерантный интервал для 1-й партии только немного шире во 2-м случае. Объяснение состоит в том, что коэффициент k_D в 1-м случае меньше, чем во втором, так как число степеней свободы больше в 1-м случае. Оценка стандартного отклонения для 1-й партии имеет наименьшее значение, что компенсирует увеличение коэффициента k_D.

Приведенные результаты позволяют сделать заключение о том, что в том случае, когда несколько нормальных совокупностей имеют одинаковую дисперсию, толерантные интервалы, определяемые с использованием данных для нескольких совокупностей, являются более узкими, чем толерантные интервалы, определяемые по данным каждой отдельной выборки. Это следует из того факта, что оценки дисперсии, вычисленные по нескольким выборкам, лучше оценок, полученных по одной выборке, за счет большего объема наблюдений.

Пусть x₁, x₂, ..., x_n - выборка независимых случайных наблюдений из некоторой совокупности (непрерывной, дискретной или смешанной), и пусть x₍₁₎ <= x₍₂₎ <= ... <= x_(n) - соответствующие порядковые статистики.

Можно определить объем выборки, необходимый для того, чтобы интервал от v-го наименьшего наблюдения (порядковой статистики x_(v)) до w-го наибольшего наблюдения (порядковой статистики x_{(n - w + 1)}) накрывал долю совокупности не менее p с доверительной вероятностью не менее .

1) Определение необходимого объема выборки n для уровня доверия 95%, доли совокупности 99%, v = 1 и w = 1.

На основе приведенных данных (v + w) = 2, p = 0,99 и . Значение минимального объема выборки в соответствии с таблицей E.1 приложения E составляет 473 (фактический уровень доверия составляет 95,020%). Ниже приведено несколько примеров.

2) Определение необходимого объема выборки n для уровня доверия 95%, доли совокупности 95%, v = 1 и w = 0. Таким образом (v + w) = 1, p = 0,95 и . Значение минимального объема выборки в соответствии с таблицей E.1 приложения E составляет 59 (фактический уровень доверия составляет 95,151%).

3) Определение необходимого объема выборки n для уровня доверия 95%, доли совокупности 99% и наличия в выборке не более одной несоответствующей единицы продукции.

На основе приведенных данных и в соответствии с приложением G, (v + w) = 2(v + w - 1) = 1, так как максимально возможное число несоответствующих единиц продукции равно единице, p = 0,99 и . Значение минимального объема выборки в соответствии с таблицей E.1 приложения E составляет 473 (фактический уровень доверия составляет 95,020%). Полученный результат совпадает с результатом в 1-м случае).

4) Предположение, что распределение случайной величины X имеет длинные хвосты (т.е. появление в выборке экстремальных положительных и отрицательных значений возможно), тогда для обеспечения приемлемой длины толерантного интервала необходимы дополнительные действия. Экспериментатор принимает решение об исключении из обработки верхних и нижних порядковых статистик и строит толерантный интервал, границами которого являются 5-я наименьшая v = 5 и 5-я наибольшая w = 5 порядковые статистики. Необходимо определить такой объем выборки n, чтобы этот интервал накрывал не менее 99% совокупности с уровнем доверия не менее 90%.

На основе приведенных данных и в соответствии с приложением G, (v + w) = 10, p = 0,99 и. В соответствии с таблицей E.1 приложения E значение минимального объема выборки составляет 1418 (фактический уровень доверия составляет 90,000%), а соответствующие порядковые статистики - x₍₅₎ и x₍₁₄₁₄₎.

В данном приложении приведены точные формулы коэффициентов k, используемых при вычислении границ толерантных интервалов в случае единственной выборки из нормального распределения. Ниже предполагается, что объем выборки из равен n. Пусть и s - выборочные среднее и стандартное отклонение соответственно. Предположим, что оценки и s получены по одной и той же выборке и в этом случае случайная величина подчиняется с n - 1 степенями свободы. Но может быть получена независимая оценка стандартного отклонения с f-степенями свободы, где обычно f более n - 1. Например, такое может быть в том случае, когда для определения оценки стандартного отклонения использовано несколько независимых выборок из совокупности с одинаковым стандартным отклонением. Для данной ситуации точные формулы можно легко изменить.

Интервал накрывает долю совокупности p, и если

,

то интервал накрывает долю совокупности, превосходящую p. Коэффициент k определяют так, чтобы это происходило с вероятностью , т.е.

. (A.1)

Распределение представляет собой распределение случайной величины с n - 1 степенью свободы, поэтому в соответствии с (A.1)

;

таким образом

. (A.2)

Здесь представляет собой квантиль уровня с n - 1 степенью свободы, таким образом это значение, которое случайная величина превышает с вероятностью .

Величина k в формуле (A.2) представляет собой коэффициент .

Интервал накрывает долю совокупности p, и если

,

то интервал накрывает долю совокупности, превосходящую p. Коэффициент k определяют так, чтобы это происходило с вероятностью , т.е.

. (A.3)

Распределение представляет собой распределение случайной величины с n - 1 степенью свободы, поэтому в соответствии с (A.3)

;

таким образом

. (A.4)

Здесь представляет собой квантиль уровня с n - 1 степенью свободы, таким образом это значение, которое случайная величина превышает с вероятностью .

Величина k в формуле (A.2) представляет собой коэффициент .

Находят такое значение k, что доля совокупности p как минимум не превосходит значения . Следует иметь в виду, что представляет собой толерантную границу в том смысле, что доля совокупности левее этой границы точно равна p. Таким образом, если

,

то доля элементов совокупности, не превосходящих , составляет не менее p. Вероятность того, что доля таких элементов совокупности составляет не менее p, равна , если

. (A.5)

Левая часть формулы (A.5) может быть записана иначе

. (A.6)

Случайная величина в формуле (A.6) подчиняется стандартному нормальному распределению, поэтому в соответствии с формулой (A.6)

,

откуда можно выразить k как

. (A.7)

Величина k в формуле (A.7) представляет собой коэффициент .

Приведенные выводы выполнены для верхней толерантной границы, аналогично может быть получено выражение для нижней толерантной границы одностороннего толерантного интервала и .

Точное значение k является решением уравнения

, (A.8)

где X подчиняется распределению . Из данного равенства может быть получена точная формула для k с помощью квантиля нецентрального с одной степенью свободы.

Вероятность того, что выборочное среднее попадает в интервал равна .

Таким образом, доля интервалов с границами доля совокупности внутри интервала составляет .

Определим значение k, удовлетворяющее уравнению (A.8). Из распределения следует, что все интервалы с границами накрывают долю совокупности не менее p тогда и только тогда, когда попадает в интервал с границами , но вероятность этого события составляет .

Обозначим , U - случайная величина из распределения , тогда уравнение (A.8) можно переписать следующим образом:

(A.9)

Случайная величина [U - b]² подчиняется нецентральному с одной степенью свободы и параметром нецентральности . Из последнего равенства (A.9) следует

(A.10)

где - квантиль уровня p нецентрального с одной степенью свободы и параметром нецентральности b².

Величина k в формуле (A.10) представляет собой коэффициент .

Необходимо найти такое значение k, что доля элементов совокупности, не превышающих , составляет не менее p. Следует иметь в виду, что представляет собой толерантную границу совокупности в том смысле, что ниже этой границы лежит точно доля совокупности p. Если

,

то доля совокупности левее составляет не менее p.

Таким образом, вероятность того, что доля совокупности левее составляет не менее p, равна , если

. (A.11)

Данная вероятность может быть записана как:

(A.12)

Здесь случайная величина

подчиняется нецентральному t-распределению с n - 1 степенью свободы и параметром нецентральности . Из равенства (A.12) следует, что и точная формула для k имеет вид

. (A.13)

Величина k в формуле (A.13) представляет собой коэффициент . Значения коэффициента приведены для и p = 0,90 и 0,99. Табличные значения имеют точность до указанного десятичного знака.

В том случае, когда используемая для вычислений оценка дисперсии s² имеет с f-степенями свободы, т.е. оценка дисперсии получена по нескольким независимым выборкам с общей дисперсией, коэффициент k находят следующим образом:

. (A.14)

Форма A. Односторонний статистический толерантный интервал (дисперсия неизвестна)

Форма B. Двусторонний статистический толерантный интервал (дисперсия неизвестна)

Форма C. Двусторонний статистический толерантный интервал (общая дисперсия неизвестна)

Форма D. Статистический толерантный интервал для произвольного распределения